1. Расчет Дисперсии Портфеля для Трех Активов [0]

thumbnail

1.1. Исходные Данные: Матрица Ковариации и Веса Активов [5]

  1. Контекст Задачи: Требуется найти дисперсию портфеля для трех активов. [5]
    1. Это делается при условии, что дана матрица ковариации. [5]
  2. Пример Активов (A, B, C):
    1. Актив A: Отечественные акции (Domestic stocks). [5]
    2. Актив B: Отечественные облигации (Domestic bonds). [6]
    3. Актив C: Международные акции (International equities). [6]
  3. Матрица Ковариации (A, B, C):
    1. Матрица имеет вид: 400, 44, 180 / 44, 70, 35 / 180, 35, 450. [7]
  4. Определение Элементов Матрицы:
    1. Ковариация A, A (400): Это ковариация между активом A и A. [11]
    2. Ковариация B, B (70): Это ковариация между активом B и B. [11]
    3. Ковариация C, C (450): Это ковариация между активом C и C. [11]
    4. Ковариация B, A (44): Ковариация между B и A. [11]
    5. Ковариация C, A (180): Ковариация между C и A. [11]
    6. Ковариация A, B (44): Ковариация между A и B. [12]
    7. Ковариация B, C (35): Ковариация между B и C. [12]
    8. Ковариация A, C (180): Ковариация между A и C. [12]
  5. Веса Инвестиций (W):
    1. Вес A (Отечественные акции): 60%. [13]
    2. Вес B (Отечественные облигации): 30%. [13]
    3. Вес C (Международные акции): 10% (остаток). [13]

1.2. Вывод Формулы Дисперсии Портфеля для Трех Активов [14]

  1. Формула Дисперсии для Двух Активов (W_A, W_B):
    1. . [14]
  2. Альтернативная Форма Формулы для Двух Активов:
    1. Формула может быть переписана с использованием ковариации. [16]
    2. . [17]
    3. Примечание: Это достигается заменой на . [16]
  3. Расширение Формулы на Три Актива (A, B, C):
    1. Включаются дисперсии всех трех активов: . [18]
    2. Добавляются парные ковариационные члены (удвоенные):
      1. . [19]
      2. . [20]
      3. . [21]
  4. Итоговая Формула Дисперсии для Трех Активов:
    1. . [23]
    2. Примечание: — это дисперсия. [26]

1.3. Связь Между Ковариацией (A, A) и Дисперсией (A) [25]

  1. Неизвестный Элемент: В формуле известны веса () и ковариации (, , ). [26]
    1. Неизвестными остаются дисперсии (). [31]
  2. Вывод Связи: Ковариация $A, A$ равна Дисперсии $A$ (). [31]
  3. Доказательство:
    1. Формула ковариации включает . [32]
    2. Если заменяется на , формула становится . [33]
    3. Это упрощается до , что является формулой дисперсии. [33]
  4. Применение к Активам:
    1. . [34]
    2. . [34]
    3. . [34]

1.4. Подстановка Значений и Окончательный Расчет [35]

  1. Подстановка Дисперсий (из Матрицы):
    1. . [35]
    2. . [36]
    3. . [37]
  2. Расчет Дисперсии Портфеля (Подстановка):
    1. Члены Дисперсии:
      1. : . [35]
      2. : . [36]
      3. : . [37]
    2. Члены Ковариации:
      1. : . [37]
      2. : . [38]
      3. : . [39]
  3. Результат Расчета:
    1. При решении всех частей получается 194.34. [40]
    2. Дисперсия портфеля равна . [40]
  4. Расчет Стандартного Отклонения:
    1. Стандартное отклонение равно корню квадратному из дисперсии. [40]
    2. . [40]
    3. Результат составляет 13.94%. [41]