Доходность портфеля и отклонения (расчеты для экзаменов CFA® и FRM®)

Q: Как рассчитать стандартное отклонение портфеля, когда корреляция активов не указана напрямую?

Стандартное отклонение портфеля — это квадратный корень из его дисперсии. Для двух активов дисперсия = `w_x^2 σ_x^2 + w_y^2 σ_y^2 + 2w_x w_y Cov(X,Y)`. Если ковариация (Cov) не указана, ее необходимо вычислить.

Q: Как рассчитать ковариацию между двумя активами?

Ковариация рассчитывается как сумма `P_i * (R_xi - E[R_x]) * (R_yi - E[R_y])` для всех состояний.

Этот урок посвящен расчету доходности и дисперсии портфеля, что критически важно для экзаменов CFA® и FRM®. Вы узнаете, как легко рассчитать ожидаемую доходность портфеля как средневзвешенное значение, а также освоите сложную формулу дисперсии. Используйте алгебраический трюк $(a+b)^2$ для запоминания формулы и поймете, почему коэффициент корреляции является ключевым фактором диверсификации.

1. Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля [0]

Тема урока — доходность и дисперсия портфеля [1].
Ожидаемая доходность портфеля обычно понятна [2].
Дисперсия портфеля вызывает трудности из-за сложной формулы [3].
Будет рассмотрено, как работают доходность и дисперсия портфеля [4].
Будет показан быстрый способ запоминания формулы дисперсии [4].
Понимание обеих формул важно, так как это частый вопрос на экзаменах [5].

2. Расчет ожидаемой доходности портфеля (ERP) [6]

Ожидаемая доходность портфеля (ERP) — это просто средневзвешенное значение [7].
ERP рассчитывается, когда несколько активов объединены в портфель [9].
Расчет ERP:
1. Берется вес каждой акции и умножается на ее доходность [10].
2. Вес акции — это ее доля в общем портфеле [11].
3. Пример: Портфель стоит $100,000, акция A стоит $40,000 [12].
4. Вес акции A составит 40% [13].
Формула ожидаемой доходности портфеля (ERP):
1. $E R P = \sum (w_{i} \times r_{i})$ [16].
2. Это означает умножение веса каждой акции ( $w_{i}$ ) на ее доходность ( $r_{i}$ ) и суммирование [16].
Пример расчета ERP для двух активов (А и В):
1. Активы: облигации (B) и акции (A) [18].
2. Доходность акций: 8%; доходность облигаций: 6% [21].
3. Распределение равное (50/50), то есть веса 0.5 и 0.5 [22].
4. Расчет: $(0.5 \times 8%) + (0.5 \times 6%)$ [23].
5. Ожидаемая доходность портфеля составляет 7% [24].

3. Дисперсия и стандартное отклонение портфеля [25]

Стандартное отклонение и дисперсия портфеля — более сложная часть [25].
Стандартное отклонение портфеля не является простой суммой или средневзвешенным значением индивидуальных стандартных отклонений [26].
Сложность возникает из-за необходимости знать корреляцию между активами [27].
Чем больше активов, тем больше парных корреляций, и тем сложнее формула [28].
На экзаменах (CFA или FRM) обычно спрашивают о случаях с двумя или тремя активами [29].
Риск портфеля (стандартное отклонение) не является просто суммой рисков базовых ценных бумаг [30].
Необходимо учитывать корреляцию, которая является самым важным членом в формуле [30].
Стандартное отклонение портфеля состоит из двух ключевых частей [32]:
1. Дисперсия базовых активов [32].
2. Ковариация каждой пары базовых активов [32].
При наличии трех активов потребуется парная ковариация/корреляция для всех трех пар [34].

3.1. Формула дисперсии портфеля для двух активов [36]

Стандартное отклонение — это просто квадратный корень из дисперсии портфеля [38].
Формула дисперсии портфеля:
1. $W_{X}^{2} \times σ_{X}^{2}$ : Квадрат веса первого актива ( $W_{X}$ ) умножить на дисперсию первого актива ( $σ_{X}^{2}$ ) [42].
2. $W_{Y}^{2} \times σ_{Y}^{2}$ : Аналогично для второго актива ( $W_{Y}$ и $σ_{Y}^{2}$ ) [44].
3. $2 \times W_{X} \times W_{Y} \times σ_{X} \times σ_{Y} \times ρ_{X Y}$ : Удвоенное произведение весов, стандартных отклонений и корреляции ( $ρ_{X Y}$ ) [45].
Корреляция — самый важный член в портфельной теории [46].
Корреляция определяет уровень диверсификации [46].

4. Запоминание формулы дисперсии с помощью алгебраического трюка [47]

Формула дисперсии выглядит сложной, но ее можно запомнить [49].
Сравнение с алгебраической формулой $(a + b)^{2}$ :
1. $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ [52].
Сопоставление членов:
1. Если $a = W_{X} \times σ_{X}$ , то $a^{2}$ соответствует первому члену формулы дисперсии [55].
2. Если $b = W_{Y} \times σ_{Y}$ , то $b^{2}$ соответствует второму члену [57].
3. $2 ab$ соответствует части третьего члена: $2 \times W_{X} \times σ_{X} \times W_{Y} \times σ_{Y}$ [58].
Необходимо запомнить, что в конце добавляется член корреляции [59].
Формула дисперсии: $(a^{2} + b^{2} + 2 ab) \times ρ_{X Y}$ (с учетом корреляции в последнем члене) [59].
Нельзя игнорировать аспект корреляции, иначе ответ будет неверным [60].

5. Важность корреляции и использование ковариации [61]

Корреляция ( $ρ$ ) находится в диапазоне от -1 до +1 [61].
Влияние корреляции на дисперсию:
1. Чем выше корреляция (ближе к +1), тем больше дисперсия портфеля [63].
2. Если корреляция стремится к -1, третий член становится отрицательным [64].
3. Корреляция -1 дает наименьшую дисперсию портфеля [65].
Диверсификация:
1. Наименьшая дисперсия означает наивысший уровень диверсификации [65].
2. Чем более отрицателен член корреляции, тем лучше для портфеля, так как это увеличивает выгоду от диверсификации [66].
Корреляция является самым важным членом [67].
Использование ковариации:
1. Три члена $σ_{X}$ , $σ_{Y}$ и $ρ_{X Y}$ вместе составляют ковариацию между X и Y ( $σ_{X Y}$ ) [68].
2. Если в вопросе дана ковариация, можно использовать ее напрямую [71].
3. Если дана корреляция, используется полная формула с тремя членами [72].
Существуют две версии одной и той же формулы, зависящие от того, дана ли ковариация или корреляция [73].

6. Пример 1: Расчет стандартного отклонения портфеля [75]

Условие задачи: Портфель из двух активов (A и B) [76].
1. Актив A: Вес (аллокация) 80% (0.8); Стандартное отклонение ( $σ_{A}$ ) 16% (0.16) [77].
2. Актив B: Вес (аллокация) 20% (0.2); Стандартное отклонение ( $σ_{B}$ ) 25% (0.25) [78].
3. Коэффициент корреляции ( $ρ_{A B}$ ): 0.6 [79].
4. Требуется найти стандартное отклонение портфеля [80].
Важное предостережение:
1. Нужно быть внимательным, спрашивается ли стандартное отклонение или дисперсия [80].
2. Обычно один из вариантов ответа — это дисперсия, что является частой ошибкой [80].
3. Если требуется стандартное отклонение, необходимо взять квадратный корень в последнем шаге [83].
Расчет дисперсии портфеля ( $σ_{P}^{2}$ ):
1. Используется формула $W_{A}^{2} σ_{A}^{2} + W_{B}^{2} σ_{B}^{2} + 2 W_{A} W_{B} σ_{A} σ_{B} ρ_{A B}$ [88].
2. Подстановка значений: $(0. 8^{2} \times 0.1 6^{2}) + (0. 2^{2} \times 0.2 5^{2}) + (2 \times 0.8 \times 0.2 \times 0.16 \times 0.25 \times 0.6)$ [90].
3. Дисперсия портфеля: 2.66% (0.0266) [90].
Расчет стандартного отклонения портфеля ( $σ_{P}$ ):
1. Если остановиться на 2.66%, это будет неверный ответ (вариант B) [91].
2. Необходимо взять квадратный корень из дисперсии [93].
3. $σ_{P} = 0.0266$ (Это правильный ответ, вариант A) [94].

7. Пример 2: Расчет стандартного отклонения с использованием ковариации [95]

7.1. Исходные данные и недостающая информация [96]

Условие задачи: Равные инвестиции в две компании (ABC и XYZ) [97].
1. Веса $W_{A B C}$ и $W_{X Y Z}$ равны 0.5 [98].
Данные для ABC:
1. Вероятности и доходности: 15% шанс (6%), 60% шанс (8%), 25% шанс (10%) [100].
2. Ожидаемая доходность ( $E [R_{A B C}]$ ): 8.2% [101].
3. Стандартное отклонение ( $σ_{A B C}$ ): 1.249% [101].
Данные для XYZ:
1. Вероятности те же, доходности: 4%, 5%, 5.5% [103].
2. Ожидаемая доходность ( $E [R_{X Y Z}]$ ): 4.975% [105].
3. Стандартное отклонение ( $σ_{X Y Z}$ ): 0.46% [106].
Требуется рассчитать стандартное отклонение портфеля [107].
Проблема: В формуле дисперсии портфеля отсутствует информация о корреляции [110].
Решение: Необходимо вычислить ковариацию ( $σ_{X Y}$ ) из предоставленных данных [111].
Формула ковариации: $\sum [P_{i} \times (R_{X, i} - E [R_{X}]) \times (R_{Y, i} - E [R_{Y}])]$ [112].
Все необходимые компоненты (вероятности, доходности, ожидаемые доходности) уже даны [113].

7.2. Расчет ковариации и дисперсии [116]

Расчет ковариации:
1. Сценарий 1 (Вероятность 15%): $0.15 \times (6% - 8.2%) \times (4% - 4.975%)$ [117].
2. Повторение процесса для вероятностей 60% и 25% [122].
3. Суммирование результатов дает ковариацию [123].
Использование ковариации:
1. Ковариация заменяет три члена в формуле дисперсии: $2 \times W_{X} \times W_{Y} \times σ_{X Y}$ [123].
Расчет дисперсии портфеля ( $σ_{P}^{2}$ ):
1. $W_{X}^{2} σ_{X}^{2} + W_{Y}^{2} σ_{Y}^{2} + 2 \times W_{X} \times W_{Y} \times σ_{X Y}$ [134].
2. Подстановка значений: $(0. 5^{2} \times 1.24 9^{2}) + (0. 5^{2} \times 0.4 6^{2}) + (2 \times 0.5 \times 0.5 \times σ_{X Y})$ [135].
3. После вычисления ковариации и подстановки получается дисперсия [137].
Расчет стандартного отклонения:
1. Стандартное отклонение — это квадратный корень из полученной дисперсии [137].

8. Заключительное напоминание [139]

Важно помнить алгебраический трюк $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ [140].
Необходимо не забыть добавить член корреляции в конце [141].
Корреляция является самым важным членом [141].
Такой подход облегчает запоминание формулы [142].

Просто добавьте источники — «живая» заметка готова

Полностью надёжные заметки с ссылками на источники

Разные типы заметок под ваши цели

Чат ИИ на основе ваших загруженных материалов

Deep Search, который находит надёжные источники