1. Kapitalallokation zwischen risikoreichen und risikofreien Portfolios [0]

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1.1. Grundlagen der Kapitalallokation und Risikokontrolle [0]

  1. Dieses Video behandelt die Kapitalallokation über risikoreiche und risikofreie Portfolios hinweg. [0]
  2. Die Asset Allocation ist ein wichtiger Teil der Portfoliokonstruktion. [1]
    1. Sie bezieht sich auf die Wahl zwischen breiten Anlageklassen. [1]
    2. Der Fokus liegt auf breiten Anlageklassen, nicht auf spezifischen Wertpapieren. [2]
  3. Die einfachste Methode zur Risikokontrolle ist die Anpassung der Proportionen. [3]
    1. Dies betrifft die Anteile, die in risikofreie und risikoreiche Anlagen investiert werden. [3]
  4. Definition der Proportionen: [4]
    1. ist der Anteil, der dem risikoreichen Portfolio (P) zugewiesen wird. [4]
    2. ist der Anteil, der dem risikofreien Vermögenswert (F) zugewiesen wird. [4]
  5. Berechnung der Rendite des Gesamtportfolios ($R_C$): [5]
    1. . [5]
    2. ist die Rendite des risikoreichen Portfolios. [5]
    3. ist die Rendite des risikofreien Vermögenswerts. [5]
  6. Erwartete Rendite des Gesamtportfolios ($E(R_C)$): [6]
    1. . [6]
    2. Für wird keine Erwartung verwendet, da es risikofrei ist. [7]
    3. Umformung der Gleichung: . [10]
  7. Risiko des Gesamtportfolios ($\sigma_C$): [11]
    1. Das gesamte Risiko entsteht nur durch den risikoreichen Vermögenswert. [11]
    2. . [11]
    3. Die Varianz ist . [12]
    4. Daraus folgt . [13]
  8. Neuschreiben der erwarteten Rendite unter Verwendung des Risikos: [15]
    1. . [16]
    2. Die Steigung dieser Linie ist . [17]
    3. Dies wird als Sharpe Ratio bezeichnet. [19]
    4. Der Zähler ist die Überrendite des Portfolios. [18]

1.2. Maximierung des Anlegernutzens und optimale Gewichtung () [20]

  1. Herausforderung für Anleger: [20]
    1. Risikoaverse Anleger bestrafen die erwartete Rendite wegen des Risikos. [19]
    2. Wenn die Rendite mit dem Risiko steigt, ist das beste Portfolio unklar. [20]
    3. Anleger weisen verschiedenen Anlagen Nutzenscores (Utility Scores) zu. [21]
  2. Nutzenfunktion des Anlegers ($U$): [22]
    1. . [23]
    2. ist die erwartete Rendite. [23]
    3. ist ein willkürlicher Skalierungsfaktor. [23]
    4. ist der Koeffizient der Risikoaversion. [24]
    5. Ein höheres bedeutet eine stärkere Risikoaversion. [25]
    6. ist die Varianz, die das Risiko berücksichtigt. [25]
  3. Ziel: Maximierung des Anlegernutzens durch Wahl der optimalen Gewichte () für risikoreiche Anlagen. [26]
    1. Das Gewicht der risikofreien Anlage ist dann . [28]
  4. Substituierung der Definitionen in die Nutzenfunktion: [32]
    1. . [33]
    2. Der Nutzen steigt mit der erwarteten Rendite und sinkt durch das Risiko. [31]
  5. Maximierung des Nutzens (Ableitung nach $Y$): [35]
    1. Die partielle Ableitung von nach wird auf Null gesetzt. [35]
    2. Ableitung des ersten Teils (bezüglich ): . [38]
    3. Ableitung des zweiten Teils (bezüglich ): . [39]
    4. Nach Kürzung der 2er: . [40]
  6. Bestimmung des optimalen Gewichts ($Y^*$): [42]
    1. Umformung der Gleichung: . [42]
    2. (optimales Gewicht) ist gleich der Überrendite geteilt durch . [44]
    3. . [44]
  7. Das Gewicht der risikofreien Anlage ist . [46]
  8. Die grafische Darstellung dieser Gewichte ergibt die Capital Allocation Line (CAL). [47]

1.3. Die Capital Market Line (CML) [48]

  1. Die Capital Market Line (CML) wird erhalten, wenn man eine passive Strategie verfolgt. [48]
  2. Dabei wird ein passiv gehaltener risikoreicher Vermögenswert wie der Marktindex gewählt. [49]
  3. Der Marktindex ist ein gut diversifiziertes Portfolio von Stammaktien. [50]
  4. Die CML ist eine CAL, die aus einem risikofreien Vermögenswert (z.B. T-Bills) und einem breiten Marktindex (z.B. S&P 500) gebildet wird. [50]
    1. Der Marktindex wird auch als Marktportfolio (M) bezeichnet. [50]
  5. Optimales Gewicht im Marktportfolio ($Y^*_M$): [51]
    1. Die Maximierungsprozedur ist dieselbe wie zuvor. [51]
    2. Man ersetzt lediglich das Portfolio durch das Marktportfolio . [52]
    3. . [53]