Kursus Pengkomputeran Kuantum – Matematik dan Teori untuk Pemula

1. Pengenalan kepada Pengkomputeran Kuantum dan Struktur Kursus [0]

1. Pengkomputeran Kuantum (PK) memanfaatkan prinsip mekanik kuantum untuk memproses maklumat. [0]
2. Kursus ini bertujuan memberikan asas kukuh PK, dari asas hingga algoritma popular. [1]
3. Kursus ini dibahagikan kepada dua bahagian utama: matematik asas dan mekanik komputer kuantum. [2]
4. PK berpotensi mengubah teknologi kerana kuasa pemprosesannya. [3]
5. Michael dari Quantum Source mencipta kursus ini. [4]
6. Penjelasan analogi PK (Q-bit adalah 0 dan 1 serentak) sering tidak difahami. [5]
7. Kursus ini mengajar PK tanpa analogi, fokus pada operasi sebenar. [7]

1.1. Struktur Kursus [8]

1. Bahagian Pertama: Meliputi matematik asas yang diperlukan. [9]
   1. Pengenalan kepada nombor kompleks dan algebra linear asas. [9]
2. Bahagian Kedua: Meneroka mekanik komputer kuantum. [9]
   1. Mengenal pasti dan mewakili qubit secara matematik. [9]
   2. Meneroka operasi qubit tunggal dan sifatnya. [10]
   3. Memperkenalkan perwakilan matematik pelbagai qubit dan operasinya. [11]
   4. Menjelaskan fenomena kuantum: quantum entanglement dan phase kickback. [12]
3. Bahagian Akhir: Menganalisis algoritma kuantum. [13]
   1. Menunjukkan mengapa komputer kuantum adalah teknologi revolusioner. [14]

2. Asas Matematik: Nombor Kompleks [15]

2.1. Nombor Imaginar dan Kompleks [15]

1. Memulakan dengan punca kuasa dua nombor. [15]
2. Persamaan $x^2=4$ memberikan $x=\pm 2$. [16]
3. Persamaan $x^2=-4$ memerlukan nombor imaginar. [17]
4. Jika $i=\sqrt{-1}$, maka $\sqrt{-4}=\pm 2i$. [18]
5. Nombor imaginar mengandungi faktor $\sqrt{-1}$. [19]
6. Nombor kompleks adalah nombor yang mengandungi nombor nyata ditambah nombor imaginar. [20]
7. Bentuk standard ialah $a+iB$, di mana $A$ adalah bahagian nyata dan $B$ adalah bahagian imaginar. [22]
8. Bentuk ini akan digunakan untuk memodelkan keadaan PK dalam pelajaran seterusnya. [23]

2.2. Operasi Asas Nombor Kompleks [24]

1. Penambahan dan penolakan dilakukan dengan menambah/menolak bahagian nyata dan imaginar. [24]
2. Pendaraban memerlukan ingatan bahawa $i^2=-1$. [25]
3. Konjugat kompleks didapati dengan menukar tanda bahagian imaginar. [26]
   1. Dinotasikan dengan asterisk (*). [27]
4. Sifat: Hasil darab nombor kompleks dengan konjugatnya sentiasa nombor nyata. [29]
5. Nombor kompleks boleh diwakili sebagai vektor pada satah bernombor. [31]
   1. Paksi nyata secara mendatar, paksi imaginar secara menegak. [31]
   2. Contoh: $-2+3i$ berakhir pada titik $(-2,3)$. [32]

2.3. Magnitud dan Bentuk Polar/Eksponensial [33]

1. Magnitud adalah jarak dari titik ke asalan. [33]
   1. Dikira menggunakan Teorem Pythagoras: $|A+iB|=\sqrt{a^2+b^2}$. [34]
2. Bentuk Polar: Mewakili nombor melalui magnitud ($r$) dan sudut ($\theta$). [37]
   1. Bentuk: $r(\cos \theta +i\sin \theta )$. [38]
   2. Sudut $\theta$ didapati melalui $\theta =\arctan (B/A)$. [39]
3. Bentuk Eksponensial: Bentuk lain ialah $r{e}^{i\theta }$. [41]
4. PK hampir secara eksklusif menggunakan nombor kompleks dalam bentuk eksponensial. [43]
5. Apabila menukar $\theta$, ia berputar pada bulatan; mendarabkan dua nombor eksponensial dengan magnitud satu menambahkan sudutnya. [44]
6. Sifat ini sangat berguna untuk mewakili keadaan kuantum. [45]

3. Asas Matematik: Matriks [46]

3.1. Definisi dan Operasi Matriks Asas [46]

1. Matriks adalah susunan nombor 2D. [46]
2. Matriks $M\times N$ mempunyai $M$ baris dan $N$ lajur. [48]
3. Penambahan dan penolakan matriks dilakukan pada setiap elemen. [50]
   1. Hanya boleh dilakukan jika dimensi matriks adalah sama. [52]
4. Pendaraban matriks dengan skalar mendarabkan setiap elemen dengan skalar tersebut. [54]
5. Pendaraban Matriks: Melibatkan operasi hasil darab titik (dot product) antara baris matriks kiri dan lajur matriks kanan. [56]
6. Pendaraban hanya boleh dilakukan jika lajur matriks pertama sama dengan baris matriks kedua. [60]

3.2. Vektor Kolum dan Transformasi Matriks [62]

1. Matriks $N\times 1$ dipanggil vektor kolum. [62]
2. Salah satu cara mewakili keadaan PK adalah melalui vektor kolum. [64]
3. Mendarabkan matriks dengan vektor kolum menghasilkan vektor kolum lain. [65]
4. Secara intuitif, vektor kolum sedang ditransformasi oleh matriks. [66]
5. Matriks digunakan sebagai transformasi pada vektor dalam PK. [67]

3.3. Sifat Matriks Khusus [69]

1. Matriks Identiti ($I$): Semua sifar kecuali pepenjuru utama adalah satu. [69]
   1. $I$ didarabkan dengan mana-mana matriks menghasilkan matriks asal. [71]
2. Invers Matriks ($A^{-1}$): Apabila didarab dengan $A$, hasilnya adalah matriks identiti. [73]
   1. Menerapkan $A$ kemudian $A^{-1}$ mengekalkan vektor pada kedudukan asalnya. [75]
3. Konjugat Kompleks Matriks ($A^*$): Menukar tanda semua komponen imaginar dalam elemen matriks. [77]
4. Transpos Matriks ($A^T$): Menukar baris dengan lajur. [81]
5. Dagger Matriks ($A^\dagger$): Gabungan konjugat kompleks dan transpos ($A^{†}=(A^{\ast }{)}^T$). [83]
6. Matriks Unitari ($U$): Matriks di mana $U{U}^{†}=I$. Oleh itu, $U^{†}$ adalah inversnya. [84]
   1. Tindakan matriks unitari pada vektor mengekalkan panjang vektor, hanya memutar atau membalikkannya. [87]
7. Matriks Hermitian ($H$): Matriks di mana $H=H^{†}$. [89]
8. Vektor Eigen dan Nilai Eigen: [92]
   1. Jika transformasi mengekalkan arah vektor tetapi meregang/mampatkan, vektor itu adalah vektor eigen. [93]
   2. Skalar regangan/pemampatan dipanggil nilai eigen. [93]
   3. Contoh: Matriks $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$ pada vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$ menghasilkan $2\times \left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$. [94]
   4. Nilai eigen adalah 2, vektor eigen adalah $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$. [97]

4. Asas Matematik: Qubit dan Keadaan Kuantum [98]

4.1. Qubit dan Superposisi [98]

1. Komputer klasik menggunakan bit (0 atau 1); komputer kuantum menggunakan qubit. [98]
2. Qubit boleh menjadi 0 dan 1 pada masa yang sama (superposition). [99]
3. Qubit fizikal boleh menjadi zarah kuantum dalam dua keadaan diskret (cth., polarisasi foton). [102]
4. Dalam PK, 0 dan 1 ditakrifkan sebagai vektor kolum: $|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ dan $|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$. [103]
5. Dirac Notation (ket) digunakan untuk mengelilingi 0 dan 1, menandakan ia adalah keadaan kuantum. [104]
6. Superposisi: Keadaan kuantum berada dalam dua keadaan serentak. [105]
7. Qubit dalam superposisi mempunyai nombor bukan sifar dalam matriksnya. [114]

4.2. Pengukuran Qubit [115]

1. Pengukuran: Mengubah keadaan sistem kepada keadaan pengukuran. [115]
2. Jika foton dalam superposisi, pengukuran hanya menghasilkan satu keadaan (cth., terpolarisasi mendatar). [117]
3. Qubit yang diukur hanya menghasilkan 0 atau 1, bukan magnitudnya. [119]
4. Selepas pengukuran, keadaan qubit runtuh kepada keadaan yang diukur. [122]
5. Nombor dalam vektor keadaan menunjukkan kebarangkalian mengukur 0 atau 1. [123]
   1. Kebarangkalian = Magnitud kuasa dua amplitud keadaan. [124]
6. Keadaan $|0⟩$ sentiasa diukur sebagai 0 (kebarangkalian 1). [126]
7. Jumlah kebarangkalian mengukur 0 dan 1 mesti bersamaan dengan 1. [127]
8. Pengukuran secara kekal mengubah keadaan sistem kepada hasil pengukuran. [130]

4.3. Perwakilan Keadaan Qubit [131]

1. Dirac Notation digunakan untuk mewakili keadaan PK kerana matriks menjadi tidak praktikal dengan lebih banyak qubit. [131]
2. Keadaan $\left(\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \end{array}\right)$ ditukar kepada $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$. [132]
3. Qubit boleh diwakili secara grafik pada Sfera Bloch. [140]
   1. Kutub atas adalah keadaan $|0⟩$, kutub bawah adalah keadaan $|1⟩$. [141]
4. Kedudukan lebih dekat ke $|0⟩$ bermakna kebarangkalian mengukur 0 lebih tinggi. [144]
5. Keadaan $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$ berada separuh jalan antara kutub. [145]
6. Fasa (Phase): Putaran qubit pada sfera. [147]
7. Keadaan $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{\sqrt{3}}{2}|1⟩$ berada separuh jalan antara Khatulistiwa dan kutub $|1⟩$. [151]
   1. Kebarangkalian mengukur 0 adalah $1/4$, mengukur 1 adalah $3/4$. [151]

5. Gerbang Kuantum Tunggal Qubit [152]

5.1. Gerbang X, Y, dan Z [152]

1. Gerbang digunakan untuk mengubah keadaan qubit, berbeza dari gerbang logik biasa. [153]
2. Gerbang tunggal qubit paling biasa ialah X, Y, dan Z. [154]
3. Gerbang X: Membalikkan keadaan $|0⟩$ kepada $|1⟩$ dan sebaliknya. [155]
   1. Memutar qubit $180^{\circ }$ ($\pi$ radian) di sekitar paksi X. [160]
4. Gerbang Y: Memutar keadaan $180^{\circ }$ ($\pi$ radian) di sekitar paksi Y. [161]
5. Gerbang Z: Memutar keadaan $180^{\circ }$ ($\pi$ radian) di sekitar paksi Z. [164]
6. Ketiga-tiga gerbang ini adalah invers kepada diri mereka sendiri (menerapkan dua kali mengembalikan kedudukan asal). [165]
7. Gerbang ini boleh diwakili sebagai matriks. [167]
   1. Kompleks dalam matriks Y akan dijelaskan dalam pelajaran fasa. [168]
8. Menerapkan gerbang secara matematik adalah mendarabkan matriks gerbang dengan vektor kolum qubit. [170]

5.2. Menerapkan Gerbang dalam Dirac Notation [172]

1. Untuk menerapkan gerbang, lihat lajur matriks gerbang. [172]
   1. Lajur pertama menunjukkan keadaan $|0⟩$ selepas transformasi. [173]
   2. Lajur kedua menunjukkan keadaan $|1⟩$ selepas transformasi. [173]
2. Gerbang kuantum adalah linear, bertindak pada setiap keadaan superposisi secara individu. [175]
3. Contoh: Menerapkan Gerbang Y pada $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ menghasilkan keadaan baru. [176]
4. Gerbang Z mengubah $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$ kepada $\alpha |0⟩-\beta |1⟩$. [180]
5. Gerbang Z tidak menjejaskan kebarangkalian mengukur 0 atau 1. [181]

5.3. Pengenalan Fasa [183]

1. Fasa adalah putaran di sekitar paksi Z pada Sfera Bloch. [183]
2. Fasa sangat penting untuk kuasa komputer kuantum, walaupun ia tidak mengubah kebarangkalian. [185]
3. Fasa diwakili secara matematik menggunakan nombor kompleks dalam bentuk eksponensial. [187]

6. Fasa dan Gerbang Hadamard [188]

6.1. Fasa Relatif dan Global [188]

1. Keadaan $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$ apabila Gerbang Z digunakan menjadi $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$. [191]
2. Faktor $-1$ boleh diwakili sebagai nombor kompleks eksponensial $e^{i\pi }$ (sudut $\pi$ radian). [194]
3. $i$ boleh diwakili sebagai $e^{i\pi /2}$ (putaran $\pi /2$ radian di sekitar paksi Z). [198]
4. Menggunakan nombor kompleks eksponensial membolehkan putaran matematik yang mudah dengan menukar $\theta$. [199]
5. Fasa Global: Seluruh qubit didarab dengan nombor kompleks; secara fizikal tidak relevan. [200]
6. Fasa Relatif: Hanya amplitud keadaan $|1⟩$ didarab dengan nombor kompleks; sangat penting. [200]
7. Fasa relatif memutar qubit pada Sfera Bloch di sekitar paksi Z. [205]
8. Fasa tidak menjejaskan kebarangkalian mengukur 0 atau 1. [206]

6.2. Keadaan Khatulistiwa dan Gerbang Hadamard [210]

1. Keadaan pada Khatulistiwa Sfera Bloch adalah pintasan untuk keadaan biasa dengan fasa relatif berbeza. [212]
   1. Plus State ($|+⟩$): $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$. [216]
   2. Minus State ($|-⟩$): Sama seperti $|+⟩$ tetapi dengan fasa relatif $-1$. [217]
   3. $i$ State: Fasa relatif $i$. [219]
   4. Negatif $i$ State: Fasa relatif $-i$. [219]
2. Gerbang Hadamard ($H$): Matriksnya diberikan. [220]
   1. $|0⟩$ bertukar kepada $|+⟩$; $|1⟩$ bertukar kepada $|-⟩$. [222]
   2. $H$ adalah invers kepada dirinya sendiri. [224]
3. Menerapkan $H$ pada $|+⟩$ menghasilkan $|0⟩$; pada $|-⟩$ menghasilkan $|1⟩$. [223]
4. Gerbang Hadamard menunjukkan bahawa fasa adalah penting. [226]
   1. Keadaan $|0⟩$ dan $|+⟩$ mempunyai kebarangkalian 0.5, tetapi selepas $H$ hasilnya berbeza. [228]

6.3. Gerbang S dan T [230]

1. Gerbang S: Menambah fasa relatif $\pi /2$ radian. [231]
2. Gerbang T: Menambah fasa relatif $\pi /4$ radian. [233]
3. Konjugat Transpos ($S^{†}$ dan $T^{†}$) adalah invers bagi gerbang masing-masing. [234]

7. Multi-Qubit dan Keadaan Terjerat [238]

7.1. Produk Tensor dan Litar Kuantum [238]

1. Pelbagai qubit diwakili melalui Produk Tensor ($\otimes$). [238]
   1. Dua qubit $|0⟩$ diwakili sebagai $|00⟩$. [239]
2. Superposisi pelbagai qubit dikembangkan seperti operasi lain. [240]
   1. Dua qubit mempunyai empat keadaan: $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$. [241]
3. Kebarangkalian pengukuran adalah magnitud kuasa dua pekali keadaan superposisi. [243]
4. Menambah qubit sistem dilakukan dengan menensorkannya pada akhir keadaan. [245]
5. Litar Kuantum: Diagram untuk menunjukkan urutan aplikasi gerbang. [247]
   1. Garisan menegak mewakili qubit. [249]
   2. Kotak mewakili gerbang kuantum (cth., X, H). [250]
   3. Urutan aplikasi adalah dari kiri ke kanan. [253]
6. Contoh litar menunjukkan transformasi keadaan dari $|001⟩$ melalui gerbang X dan H. [255]

7.2. Gerbang Berbilang Qubit [259]

1. Gerbang CNOT (Controlled-X): Bertindak pada dua qubit. [260]
   1. Kawalan: Qubit kawalan. Sasaran: Qubit sasaran. [263]
   2. Menerapkan gerbang X pada sasaran jika kawalan adalah $|1⟩$; tidak melakukan apa-apa jika kawalan adalah $|0⟩$. [264]
2. Gerbang CNOT bertindak pada setiap keadaan superposisi secara individu. [265]
3. Gerbang Toffoli: Mirip CNOT tetapi mempunyai dua qubit kawalan. [266]
4. Gerbang terkawal lain (Y, Z, S, T, H) wujud; ia bertindak jika kawalan adalah 1. [269]
5. Mengukur Satu Qubit: Jumlah kebarangkalian semua keadaan di mana qubit itu mengukur nilai yang dikehendaki. [271]
6. Keruntuhan Selepas Pengukuran: Keadaan runtuh, dan probabiliti mesti dinormalkan semula. [275]
   1. Keadaan dinormalkan dengan mendarabkan pemalar normalisasi ($A$). [279]

7.3. Keterjeratan (Entanglement) [282]

1. Contoh litar tiga qubit menunjukkan keruntuhan keadaan. [282]
2. Litar menunjukkan keadaan terjerat: $|00⟩$ dan $|11⟩$ dengan pekali $\frac{1}{\sqrt{2}}$. [286]
3. Keterjeratan: Keadaan tidak boleh difaktorkan sebagai produk tensor keadaan qubit tunggal. [293]
   1. Mengukur satu qubit menentukan keadaan qubit lain. [293]
4. Jenis Keterjeratan: [299]
   1. Maksimum Terjerat: Mengukur satu qubit memberitahu keadaan qubit lain. Contoh: Keadaan Bell (${\Phi }^{\pm },{\Psi }^{\pm }$). [300]
   2. Separa Terjerat: Pengukuran satu qubit mempengaruhi kebarangkalian atau fasa qubit lain. [302]
5. Phase Kickback: Fenomena di mana fasa relatif diterapkan pada qubit kawalan. [305]
   1. Berlaku jika qubit sasaran adalah nilai eigen gerbang yang digunakan. [309]
   2. Contoh litar menunjukkan $V$ (nilai eigen $U$) menerima fasa $e^{i\theta }$ pada qubit kawalan. [307]

8. Algoritma Kuantum dan Kebolehuabalerbalikan [318]

8.1. Superdense Coding [318]

1. Protokol ini membolehkan penghantaran dua bit maklumat klasik dengan satu qubit. [319]
2. Memerlukan dua qubit yang terjerat secara maksimum pada mulanya. [320]
3. Alice (penghantar) melakukan operasi (tiada, X, Z, atau X dan Z) pada qubit-nya berdasarkan 2 bit yang ingin dihantar. [326]
4. Bob (penerima) menerima kedua-dua qubit. [332]
5. Bob kemudian menerapkan CNOT (kawalan: qubit pertama, sasaran: qubit kedua). [333]
6. Seterusnya, Bob menerapkan gerbang Hadamard pada qubit kiri. [334]
7. Pengukuran qubit memberikan 2 bit yang dihantar oleh Alice. [336]

8.2. Operasi Klasik dan Kebolehuabalerbalikan [339]

1. Operasi klasik utama: AND, OR, NOT, dan Exclusive OR (XOR). [340]
2. NOT: Membalikkan bit (0 ke 1, 1 ke 0). [341]
3. AND: Mengembalikan 1 jika kedua-dua input adalah 1. [345]
4. OR: Mengembalikan 1 jika salah satu input adalah 1. [348]
5. XOR: Mengembalikan 1 jika input berbeza (satu 0, satu 1). [350]
6. Kebolehuabalerbalikan (Reversible): Fungsi $f$ boleh ditentukan $x$ dari $f(x)$. [354]
   1. Operasi OR tidak boleh dibaliktirkan kerana output 1 boleh datang dari input berbeza. [355]
7. Untuk menjadikan operasi klasik boleh dibaliktirkan, masukkan bit tambahan $C$. [357]
   1. Output menjadi $X$ dan $C\oplus f(x)$. [357]
   2. Contoh: OR terbalikkan menjadi boleh dibaliktirkan. [359]
8. Semua operasi PK (kecuali pengukuran) mesti boleh dibaliktirkan (unitari). [363]

8.3. Fungsi Kuantum Boleh Dibaliktirkan (Phase Oracle) [366]

1. Fungsi kuantum mesti boleh dibaliktirkan untuk menjadi gerbang unitari. [368]
2. Fungsi kuantum $f$ dilaksanakan sebagai $U_f$: input $X,Y$ menghasilkan $X,Y\oplus f(x)$. [370]
   1. Jika $Y=0$, output menjadi $f(x)$, membolehkan kita "menyoal" fungsi. [371]
3. Fungsi $f$ dikodkan dalam matriks unitari $U_f$. [375]
4. Menerapkan $U_f$ pada keadaan $|x0⟩$ menghasilkan $|x,f(x)⟩$. [376]
5. Jika register output adalah keadaan minus ($|-⟩$), kita mendapat Phase Oracle. [377]
   1. Keadaan menjadi $\frac{1}{\sqrt{2}}{\sum }_x(-1{)}^{f(x)}|x⟩\otimes |-⟩$. [381]
6. Jika $f(x)=0$, keadaan menjadi $\frac{1}{\sqrt{2}}(|x⟩\otimes |-⟩-|x^{\prime }⟩\otimes |-⟩)$. [384]
7. Keadaan akhir boleh ditulis sebagai $(-1{)}^{f(x)}|x⟩\otimes |-⟩$. [389]
8. Apabila output adalah $|-⟩$, kita mendapat $(-1{)}^{f(x)}|x⟩\otimes |-⟩$. [390]

9. Algoritma Kuantum: Deutsch, Deutsch-Jozsa, dan Bernstein-Vazirani [392]

9.1. Teorem Tiada-Penyalinan dan Algoritma Deutsch [392]

1. Teorem Tiada-Penyalinan (No-Cloning Theorem): Keadaan qubit yang tidak diketahui ($\alpha |0⟩+\beta |1⟩$) tidak boleh disalin. [393]
2. Algoritma Deutsch: Menyelesaikan masalah menentukan sama ada fungsi 1-bit $f$ adalah konstan atau seimbang (balanced). [398]
   1. Konstan: Sentiasa mengembalikan nilai yang sama (cth., $f(x)=0$ atau $f(x)=1$). [403]
   2. Seimbang: Mengembalikan 0 untuk separuh input dan 1 untuk separuh yang lain. [405]
3. Komputer klasik memerlukan dua pertanyaan fungsi ($f(0)$ dan $f(1)$). [409]
4. Algoritma Deutsch hanya memerlukan satu pertanyaan fungsi. [412]
5. Litar Deutsch: [413]
   1. Keadaan awal: $|00⟩$. [415]
   2. Keadaan selepas Hadamard: $|+⟩\otimes |-⟩$. [417]
   3. Selepas $U_f$ (Oracle Fasa): Keadaan menjadi $\frac{1}{\sqrt{2}}(-1{)}^{f(0)}|0⟩\otimes |-⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}(-1{)}^{f(1)}|1⟩\otimes |-⟩$. [419]
6. Kesimpulan Deutsch: [423]
   1. Jika $f(0)=f(1)$ (Konstan), keadaan menjadi $|+⟩$. [425]
   2. Jika $f(0)\ne f(1)$ (Seimbang), keadaan menjadi $|-⟩$. [427]
   3. Menerapkan Hadamard pada qubit pertama mengubah $|+⟩$ kepada $|0⟩$ dan $|-⟩$ kepada $|1⟩$. [432]
7. Pengukuran 0 bermakna fungsi konstan; pengukuran 1 bermakna fungsi seimbang. [434]

9.2. Algoritma Deutsch-Jozsa (DJ) [436]

1. Algoritma DJ menyelesaikan masalah yang sama tetapi untuk fungsi yang mengambil $N$ bit input. [437]
2. Komputer klasik memerlukan sehingga $2^{N-1}+1$ pertanyaan dalam kes terburuk. [444]
3. Komputer kuantum hanya memerlukan satu pertanyaan fungsi. [448]
4. Litar DJ: [449]
   1. Menggunakan $N$ qubit input dan 1 qubit output. [449]
   2. Keadaan awal: $N$ qubit dalam $|0⟩$ dan 1 qubit dalam $|-⟩$. [451]
   3. Selepas Hadamard pada $N$ qubit input: Keadaan adalah superposisi seragam semua rentetan bit $X$ panjang $N$. [453]
   4. Identiti penting: Hadamard pada $|0{⟩}^{\otimes N}$ menghasilkan $\frac{1}{\sqrt{2^N}}{\sum }_x|x⟩$. [464]
   5. Selepas Oracle $U_f$: Keadaan menjadi $\frac{1}{\sqrt{2^N}}{\sum }_x(-1{)}^{f(x)}|x⟩$. [469]
   6. Selepas Hadamard pada $N$ qubit input: Keadaan menjadi $\frac{1}{\sqrt{2^N}}{\sum }_z(-1{)}^{f(z)}(-1{)}^{x\cdot z}|z⟩$. [474]
5. Analisis Pekali Keadaan $|0\rangle^{\otimes N}$: [489]
   1. Jika $f$ konstan: Pekali adalah $\pm 1$. Kebarangkalian mengukur $|0{⟩}^{\otimes N}$ adalah 1. [493]
   2. Jika $f$ seimbang: Pekali adalah 0. Kebarangkalian mengukur $|0{⟩}^{\otimes N}$ adalah 0. [499]
6. Pengukuran semua sifar bermakna fungsi konstan; pengukuran lain bermakna fungsi seimbang. [504]

9.3. Algoritma Bernstein-Vazirani (BV) [510]

1. Masalah BV: Cari rentetan rahsia $S$ (panjang $N$) dari fungsi $f(X)=X\cdot S(\mathrm{mod}2)$. [511]
2. Komputer klasik memerlukan $N$ pertanyaan. Komputer kuantum memerlukan satu pertanyaan. [514]
3. Litar BV: Sama seperti DJ, tetapi qubit output bermula dalam keadaan $|-⟩$. [517]
4. Selepas Hadamard pada input: Keadaan adalah superposisi seragam. [521]
5. Selepas Oracle (Phase Oracle kerana output $|-⟩$): Keadaan menjadi $\frac{1}{\sqrt{2^N}}{\sum }_x(-1{)}^{X\cdot S}|X⟩$. [522]
6. Selepas Hadamard pada semua qubit input: [528]
   1. Pekali keadaan $|S⟩$ adalah 1. [533]
7. Keputusan: Kebarangkalian mengukur $|S⟩$ adalah 1. [538]
8. Pola: Superposisi seragam (Hadamard pada $|0{⟩}^{\otimes N}$), terapkan fungsi, kemudian Hadamard lagi digunakan secara meluas. [541]

10. Transformasi Fourier Kuantum (QFT) dan Penganggaran Fasa [544]

10.1. Quantum Fourier Transform (QFT) [544]

1. QFT adalah kunci dalam banyak algoritma, termasuk Shor's. [544]
2. Intuisi QFT: Mengubah pengekodan nombor dari binari kepada fasa qubit dalam superposisi seragam. [546]
   1. Qubit terakhir mempunyai $2^N$ pilihan fasa. [551]
3. Contoh: Nombor 5 (101 dalam binari) dikodkan dengan putaran fasa. [553]
   1. Qubit paling kanan berputar $5\pi /4$ radian. [555]
4. Litar QFT: Menggunakan gerbang Controlled $R_K$ dan Swap Gate. [558]
   1. Controlled $R_K$: Mengaplikasikan fasa relatif berdasarkan pemboleh ubah $K$. [561]
   2. Swap Gate: Menukar keadaan dua qubit. [566]
5. Contoh 3-bit ($J=5$ atau 101): Qubit dianalisis secara individu dan digabungkan. [567]
6. Formula QFT: Menerapkan QFT pada keadaan asas $|J⟩$ menghasilkan formula yang melibatkan $e^{2\pi ijk/2^n}$. [585]
7. Inverse QFT membatalkan QFT, mengembalikan keadaan asas. [586]

10.2. Quantum Phase Estimation (QPE) [588]

1. QPE mencari nilai eigen ($e^{i\theta }$) bagi vektor eigen ($V$) suatu matriks ($U$). [588]
2. QPE adalah komponen utama dalam Shor's algorithm. [591]
3. Litar QPE: Mengandungi dua register: $M$ qubit untuk fasa anggaran, dan $N$ qubit ($V$) sebagai vektor eigen. [592]
   1. Gerbang $U$ dinaikkan kepada kuasa yang dikawal oleh register fasa. [594]
   2. Inverse QFT digunakan pada akhir. [596]
4. Proses QPE: [597]
   1. Mulakan dengan $|0{⟩}^{\otimes M}|V⟩$. [598]
   2. Terapkan Hadamard pada register pertama. [599]
   3. Terapkan $U^{2^k}$ terkawal pada $V$ menggunakan qubit pertama sebagai kawalan. [600]
   4. Phase Kickback berlaku, menambahkan fasa $e^{i\theta }$ pada qubit kawalan. [601]
   5. Proses ini diulang untuk semua qubit register pertama. [602]
5. Hubungan Fasa dan J: Jika $\theta =2\pi J$, di mana $J$ adalah rentetan bit, QPE mencari $J$. [605]
6. Selepas Inverse QFT pada register pertama, kita mengukur $J$ (anggaran $S/R$). [614]
7. Mengukur $J$ membolehkan kita mencari $\theta$ dan nilai eigen $e^{i\theta }$. [617]

11. Algoritma Shor untuk Pemfaktoran [618]

11.1. Pengenalan Shor dan Teori Modular [618]

1. Algoritma Shor: Membolehkan mencari faktor prima ($P$ dan $Q$) bagi nombor $N=PQ$. [619]
2. Ini berpotensi memecahkan penyulitan RSA, tetapi memerlukan komputer kuantum yang besar. [621]
3. Algoritma ini menggunakan gabungan komputer klasik dan kuantum. [623]
4. Langkah Klasik Awal: Pilih $A$ di mana $\text{GCD}(A,N)=1$. [624]
5. Teori Modular: $A\equiv B(\mathrm{mod}N)$ jika $A/N$ mempunyai baki $B$. [626]
6. Masalah pemfaktoran dikurangkan kepada mencari tempoh ($R$) eksponen modular $A^x(\mathrm{mod}N)$. [628]
   1. Tempoh $R$ adalah panjang urutan berulang $A^0,A^1,A^2,\dots (\mathrm{mod}N)$ sehingga kembali ke 1. [630]
7. Jika $R$ ditemui, faktor $P$ dan $Q$ boleh didapati melalui $\text{GCD}(A^{R/2}\pm 1,N)$. [634]

11.2. Langkah Kuantum: Mencari Tempoh ($R$) [637]

1. Memerlukan gerbang $U$ yang mentransformasi $|x⟩$ kepada $|xA(\mathrm{mod}N)⟩$. [637]
2. Menerapkan $U$ berulang kali pada $|1⟩$ menghasilkan kuasa $A(\mathrm{mod}N)$. [639]
3. Keadaan $|U⟩=\frac{1}{\sqrt{R}}{\sum }_{s=0}^{R-1}|U^s|1⟩$ adalah vektor eigen bagi $U$. [640]
   1. Nilai eigen adalah $e^{2\pi is/R}$. [645]
4. Lebih mudah membina superposisi seragam semua keadaan $U^s|1⟩$. [647]
   1. Keadaan ini dibina dengan menerapkan $U$ pada $|1{⟩}^{\otimes N}$ (yang bersamaan dengan $|1(\mathrm{mod}N)⟩$). [649]
5. Litar Shor: Litar QPE digunakan untuk menganggar nilai eigen $e^{2\pi is/R}$. [653]
   1. Pengukuran memberikan nilai perpuluhan $J\approx S/R$. [657]
6. Langkah Klasik Akhir: Menggunakan teknik pecahan berterusan untuk menghampiri $J$ sebagai pecahan $S/R$. [659]
   1. $R$ mesti kurang daripada $N$. [665]
7. Setelah $R$ dianggarkan, faktor $P$ dan $Q$ didapati menggunakan GCD. [667]

11.3. Contoh Shor: $N=15$ [673]

1. $N=15$, jadi $P=3$ dan $Q=5$. [673]
2. Pilih $A$ yang relatif prima dengan 15, contohnya $A=7$. [674]
3. Langkah kuantum mencari tempoh $R$ untuk $7^R\equiv 1(\mathrm{mod}15)$. [676]
4. Algoritma mendapati $R=4$. [677]
5. Kira GCD: [678]
   1. $\text{GCD}(7^{4/2}-1,15)=\text{GCD}(48,15)=3$. [679]
   2. $\text{GCD}(7^{4/2}+1,15)=\text{GCD}(50,15)=5$. [679]
6. Faktor 15, iaitu 3 dan 5, telah ditemui. [681]