ポートフォリオのリターンと差異（CFA®およびFRM®試験対策）

Q: ポートフォリオ標準偏差はどのように計算しますか？

ポートフォリオ標準偏差は、個々の標準偏差の単純な合計ではなく、相関関係を考慮したポートフォリオ分散の平方根として計算されます。分散の公式は `variance = w_x^2 σ_x^2 + w_y^2 σ_y^2 + 2w_x w_y σ_x σ_y ρ_xy` です。[25]

Q: ポートフォリオ分散の公式を覚えるためのヒントはありますか？

代数の "(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab" の公式に似ていますが、最後に相関項を追加することを忘れないでください。[51]

ポートフォリオの期待収益率と分散の計算方法を、CFA®やFRM®試験で必須となるレベルで深く掘り下げます。特に多くの学習者が難しさを感じるポートフォリオ分散の複雑な公式を、代数学の「$(a+b)^2$」の公式と比較する画期的な暗記トリックを用いて、簡単に記憶し適用する方法を伝授します。このコンテンツを通じて、単なる加重平均ではない分散計算の核心である相関関係（Correlation）が、いかにポートフォリオの分散効果（Diversification Benefit）を決定する最も重要な要素であるかを具体的に理解できます。計算ミスを誘発しやすい「分散」と「標準偏差」の区別や、相関情報がない場合に共分散（Covariance）を導出する実践的な問題解決スキルを習得し、試験で高得点を獲得するための実用的な計算戦略を身につけることができます。

1. ポートフォリオの期待収益率と分散の概念 [0]

主題の紹介:
1. 本日のコンセプトカプセルは、ポートフォリオの収益率と分散についてである [1]
2. ポートフォリオの収益率は一般的に理解しやすいが、ポートフォリオの分散は公式が複雑で難しく感じられることが多い [2]
3. 目標は、ポートフォリオの収益率と分散の仕組みを理解し、分散の公式を覚えるための簡単なトリックを学ぶことである [4]
4. これらの公式は試験で最も重要な問題の一つであり、頻繁に出題されるため、両方を理解する必要がある [5]

2. ポートフォリオの期待収益率の計算 [6]

期待収益率の定義:
1. ポートフォリオの期待収益率は、単純な加重平均である [7]
2. 複数の資産（または株式）を特定の比率で組み合わせてポートフォリオを作成した場合、そのポートフォリオの期待収益率を計算する必要がある [9]
計算方法:
1. 各株式のウェイトを取り、それをそれぞれの収益率と掛け合わせ、それらすべてを合計する [10]
2. 株式のウェイトは、ポートフォリオ全体の中でその株式が占める割合である [11]
3. 例: ポートフォリオの価値が$100,000で、株式Aを$40,000保有している場合、株式Aのウェイトは40%である [12]
4. 公式: $E (R_{p}) = \sum (w_{i} \times r_{i})$ である [16]
計算例 (2資産ポートフォリオ):
1. 前提: 2つのミューチュアルファンド（資産A：債券、資産B：株式）からなる単純なポートフォリオを想定する [19]
2. データ: 株式収益率8%、債券収益率6%、配分は両ファンドで均等である [22]
3. 計算:
4. 均等配分はウェイトが50/50（0.5と0.5）であることを意味する [23]
5. 期待収益率 = $(0.5 \times 8%) + (0.5 \times 6%)$ [24]
6. 結果: ポートフォリオの期待収益率は7%である [25]

3. ポートフォリオの分散と標準偏差の理解 [27]

分散計算の複雑性:
1. ポートフォリオの標準偏差は、個々の標準偏差の単純な合計や加重平均ではない [28]
2. 複雑な理由は、保有資産のウェイトと標準偏差に加えて、資産間の相関関係（Correlation）という非常に重要な要素を知る必要があるためである [29]
3. 資産の数が増えるほど、ペアワイズ相関が増え、公式はますます複雑になる [30]
試験での焦点:
1. CFAやFRM試験では、通常、2資産または3資産のケースを超える問題は出題されない [31]
2. 2資産のケースがより一般的である [31]
分散の構成要素:
1. ポートフォリオのリスク（標準偏差）は、基礎となる証券のリスクの単純な合計ではないため、相関関係を考慮に入れる必要がある [32]
2. ポートフォリオの標準偏差は、次の2つの主要部分で構成される [34]
3. 基礎となる資産の分散 (Variance of the underlying assets) [34]
4. 各基礎資産ペアの共分散 (Covariance of each underlying asset pair) [34]
5. 3資産の場合、すべてのペア（3ペア）についてペアワイズ共分散または相関関係が必要となる [36]

4. ポートフォリオ分散の公式と暗記トリック [38]

分散と標準偏差の関係:
1. 標準偏差は、分散の平方根である [41]
2. ポートフォリオの標準偏差は、ポートフォリオの分散の平方根である [42]
2資産ポートフォリオ分散の公式:
1. ポートフォリオ分散の公式は以下の項で構成される [43]
2. $W_{X}^{2} \times σ_{X}^{2}$ : 最初の資産のウェイトの二乗と分散（ $σ_{X}^{2}$ ） [44]
3. $W_{Y}^{2} \times σ_{Y}^{2}$ : 2番目の資産のウェイトの二乗と分散（ $σ_{Y}^{2}$ ） [46]
4. $2 \times W_{X} \times W_{Y} \times σ_{X} \times σ_{Y} \times ρ_{X, Y}$ : 2倍の個々のウェイト、個々の標準偏差、そして最も重要な相関関係（ $ρ_{X, Y}$ ） [47]
5. 相関関係は、ポートフォリオ理論において最も重要な項であり、分散効果（Diversification Benefit）のレベルを決定する [48]
公式の暗記トリック (代数との比較):
1. 代数学の公式 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ と比較する [53]
2. 対応関係:
3. $a = W_{X} \times σ_{X}$ とすると、 $a^{2}$ は最初の項となる [57]
4. $b = W_{Y} \times σ_{Y}$ とすると、 $b^{2}$ は2番目の項となる [59]
5. $2 ab$ は、ポートフォリオ分散公式の最後の項（相関項を除く）に対応する [60]
6. 暗記のポイント: $a^{2} + b^{2} + 2 ab$ の形を覚え、最後に相関項を追加で含めることを忘れないようにする [61]
相関関係の重要性:
1. 相関関係（ $ρ$ ）は、-1から+1の範囲で変動する [63]
2. 相関が高い場合（+1に近い）: ポートフォリオの分散は大きくなる [65]
3. 相関が低い場合（-1に近い）:
4. 相関が-1に近づくと、第3項全体が負になる [67]
5. これは、ポートフォリオの分散が最低になることを意味し、最高レベルの分散効果が得られる [67]
6. 相関項がより負になるほど、ポートフォリオの観点からは望ましい [68]
7. 相関関係は、分散効果のレベルを決定するため、最も重要な項である [69]
共分散による公式の代替:
1. 公式の最後の3項（ $σ_{X} \times σ_{Y} \times ρ_{X, Y}$ ）は、共分散（ $C o v_{X, Y}$ または $σ_{X Y}$ ）に等しい [70]
2. 質問で共分散が直接与えられている場合は、これらの3項の代わりに共分散を単純に使用できる [73]
3. 共分散を用いた公式: $W_{X}^{2} σ_{X}^{2} + W_{Y}^{2} σ_{Y}^{2} + 2 \times W_{X} \times W_{Y} \times C o v_{X, Y}$ [75]
4. 質問で共分散または相関関係のどちらが与えられているかに応じて、適切なバージョンを選択する [75]

5. 実践的な計算例と注意点 [77]

計算例 1 (標準偏差の計算):
1. データ:
2. 資産A: 配分80% ( $W_{A} = 0.8$ )、標準偏差16% ( $σ_{A} = 0.16$ ) [79]
3. 資産B: 配分20% ( $W_{B} = 0.2$ )、標準偏差25% ( $σ_{B} = 0.25$ ) [80]
4. 相関係数: $ρ_{A, B} = 0.6$ [81]
5. 目標: ポートフォリオの標準偏差を計算する [82]
重要な注意点 (分散 vs. 標準偏差):
1. 質問がポートフォリオ標準偏差を求めているのか、ポートフォリオ分散を求めているのかを注意深く確認する必要がある [82]
2. 質問が標準偏差を求めている場合、計算の最後に平方根（under root）を取ることを忘れると、分散の値が選択肢の一つとして提示されている可能性が高く、誤答となる [83]
計算手順:
1. ポートフォリオ分散の計算: 公式に数値を代入する [90]
2. $V a r_{p} = (0. 8^{2} \times 0.1 6^{2}) + (0. 2^{2} \times 0.2 5^{2}) + 2 \times 0.8 \times 0.2 \times 0.16 \times 0.25 \times 0.6$ [92]
3. 結果: ポートフォリオ分散は2.66%となる [93]
4. ポートフォリオ標準偏差の計算: 分散の平方根を取る [96]
5. $σ_{p} = 2.66%$

6. 共分散を導出する必要がある複雑な計算例 [99]

計算例 2 (共分散の導出):
1. 前提: 2つの異なる会社（ABCとXYZ）に均等に投資している [100]
2. ウェイト: $W_{A B C} = 0.5$ 、 $W_{X Y Z} = 0.5$ [101]
3. ABC社の情報:
4. 確率と収益率: 15%で6%、60%で8%、25%で10% [103]
5. 期待収益率（ $\overset{ˉ}{R}_{A B C}$ ）: 8.2% [104]
6. 標準偏差（ $σ_{A B C}$ ）: 1.249% [104]
7. XYZ社の情報:
8. 確率と収益率: 15%で4%、60%で5%、25%で5.5% (確率はABCと同じ) [107]
9. 期待収益率（ $\overset{ˉ}{R}_{X Y Z}$ ）: 4.975% [109]
10. 標準偏差（ $σ_{X Y Z}$ ）: 0.46% [110]
11. 目標: ポートフォリオの標準偏差を計算する [111]
不足情報の特定:
1. ポートフォリオ分散の計算に必要なウェイトと標準偏差は揃っているが、相関関係の情報が欠落している [114]
2. 与えられた確率と収益率のデータから、共分散を計算する必要がある [116]
共分散の計算方法:
1. 共分散の公式: $C o v_{X Y} = \sum [P_{i} \times (R_{X, i} - \overset{ˉ}{R}_{X}) \times (R_{Y, i} - \overset{ˉ}{R}_{Y})]$ [116]
2. 計算要素: 期待収益率（ $\overset{ˉ}{R}_{X}, \overset{ˉ}{R}_{Y}$ ）、確率（ $P_{i}$ ）、各状態の収益率（ $R_{X, i}, R_{Y, i}$ ）はすべて与えられている [118]
3. 第1シナリオの例:
4. 確率: 15% (0.15) [121]
5. ABC項: $(6% - 8.2%)$ [122]
6. XYZ項: $(4% - 4.975%)$ [125]
7. 手順: このプロセスを他の2つのケース（60%と25%の確率）について繰り返し、すべての結果を合計して共分散を導出する [126]
ポートフォリオ分散の計算:
1. 共分散が計算されたら、分散公式の共分散バージョンを使用する [127]
2. 公式の適用:
3. $V a r_{p} = (W_{A B C}^{2} \times σ_{A B C}^{2}) + (W_{X Y Z}^{2} \times σ_{X Y Z}^{2}) + 2 \times W_{A B C} \times W_{X Y Z} \times C o v_{A B C, X Y Z}$ [138]
4. 最後の項は、個々のウェイトと共分散を掛けたものである [140]
5. 標準偏差の計算: 分散の計算結果の平方根を取ることで、標準偏差が得られる [141]
代数トリックの再確認:
1. 代数トリック $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab$ を思い出し、最後に相関項（または共分散項）を含めることを忘れないようにすることが、公式を覚えるための簡単なトリックである [144]