Curso de Computación Cuántica: Matemáticas y Teoría para Principiantes

Resumen Cronológico: Fundamentos Matemáticos y Teóricos de la Computación Cuántica [0]

Este material presenta los fundamentos matemáticos y teóricos de la computación cuántica. El curso se divide en secciones que cubren matemáticas básicas, representación de qubits, operaciones y algoritmos cuánticos. [0]

1. Introducción y Estructura del Curso [0]

1. Computación Cuántica: Usa principios de mecánica cuántica para procesar información rápidamente. [0]
2. Objetivo del Curso: Proporcionar una base sólida desde cero hasta entender algoritmos cuánticos populares. [1]
3. Estructura:
   1. La primera sección cubre las matemáticas básicas necesarias. [2]
   2. La segunda sección explora la mecánica de las computadoras cuánticas. [2]
4. Importancia: Se explicará por qué las computadoras cuánticas son poderosas y transformarán la tecnología. [3]
5. Creador: Michael de Quantum Source creó este curso. [4]
6. Enfoque: El curso enseña cómo funcionan realmente sin usar analogías confusas. [7]
7. Estructura Detallada:
   1. Sección 1: Matemáticas básicas, incluyendo números complejos y álgebra lineal. [9]
   2. Sección 2: Exploración de qué es un qubit y su representación matemática. [9]
   3. Se exploran operaciones de un solo qubit y sus propiedades. [10]
   4. Sección 3: Representación matemática de múltiples qubits y sus operaciones. [11]
   5. Finaliza explorando el entrelazamiento cuántico y el phase kickback. [12]
   6. Sección 4: Análisis de algoritmos cuánticos usando todo lo estudiado. [13]

2. Matemáticas Fundamentales: Números Complejos [15]

2.1. Números Imaginarios y Complejos [15]

1. Raíces Cuadradas: Si $x^2=4$, entonces $x=\pm 2$. [16]
2. Números Imaginarios: Surgen cuando $x^2=-4$. [17]
3. Definición de $i$: Se define $i$ como la raíz cuadrada de $-1$. [18]
4. Ejemplo: La raíz cuadrada de $-4$ es $\pm 2i$. [18]
5. Número Imaginario: Es cualquier número con un factor de $\sqrt{-1}$. [19]
6. Números Complejos: Son números que contienen un número real más un número imaginario. [20]
7. Forma Estándar: Un número complejo es $a+iB$. [22]
   1. $A$ es la parte real. [22]
   2. $B$ es la parte imaginaria. [22]
8. Utilidad: Se representarán en otra forma usada para modelar estados cuánticos. [23]

2.2. Operaciones y Representación de Números Complejos [24]

1. Suma y Resta: Se suman o restan partes reales e imaginarias por separado. [24]
2. Multiplicación: Se recuerda que $i^2$ es igual a $-1$. [25]
3. Conjugado Complejo: Se obtiene al invertir el signo de la parte imaginaria. [26]
   1. Se denota con un asterisco (*). [27]
4. Propiedad: Multiplicar un complejo por su conjugado siempre resulta en un número real. [29]
5. Representación Gráfica (Vector): Se usa un plano con el eje Real (horizontal) y el Imaginario (vertical). [31]
   1. El número $-2+3i$ es un vector que termina en el punto $(-2,3)$. [32]
6. Magnitud: Es la distancia del número complejo al origen. [33]
   1. Se calcula con el Teorema de Pitágoras: $|A+iB|=\sqrt{a^2+b^2}$. [34]
7. Forma Polar: Representación usando magnitud ($r$) y ángulo ($\theta$) con el eje $x$ positivo. [36]
   1. Forma: $r(\cos \theta +i\sin \theta )$. [37]
   2. $\theta$ se halla con $\tan \theta =b/a$, entonces $\theta =\arctan (b/a)$. [38]
8. Forma Exponencial: Otra forma es $r{e}^{i\theta }$. [40]
9. Uso en Computación Cuántica: Se usa casi exclusivamente la forma exponencial. [42]
   1. Cambiar $\theta$ rota alrededor de un círculo. [43]
   2. Multiplicar números exponenciales con magnitud uno rota el círculo unitario. [43]
   3. Esta propiedad es útil para representar estados cuánticos. [44]

3. Álgebra Lineal: Matrices [45]

3.1. Definición y Operaciones Básicas de Matrices [45]

1. Definición: Una matriz es una disposición bidimensional de números. [45]
2. Dimensiones: Una matriz $M\times N$ tiene $M$ filas y $N$ columnas. [47]
   1. Una matriz dada es una matriz de $2\times 3$. [47]
3. Suma y Resta: Se suman o restan los elementos correspondientes. [49]
   1. Solo se pueden sumar si las dimensiones son idénticas. [51]
4. Multiplicación por un Escalar: Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar. [53]
5. Multiplicación de Matrices: Se realiza un producto punto entre filas de la izquierda y columnas de la derecha. [55]
   1. El elemento $(1,1)$ es el producto punto de la fila 1 izquierda y columna 1 derecha. [56]
   2. El proceso continúa hasta completar la nueva matriz. [58]
6. Condición de Multiplicación: El número de columnas de la primera matriz debe igualar el número de filas de la segunda. [60]

3.2. Vectores, Transformaciones y Propiedades Especiales de Matrices [62]

1. Vector Columna: Una matriz $N\times 1$ se llama vector columna. [62]
   1. Se usa para representar un estado de computación cuántica. [64]
2. Transformación: Multiplicar una matriz por un vector columna resulta en otro vector columna. [66]
   1. Intuitivamente, la matriz transforma el vector. [67]
   2. Se aplican matrices a estados cuánticos para aplicar operaciones. [69]
3. Matriz Identidad ($I$): Matriz de ceros con unos en la diagonal principal. [70]
   1. Multiplicarla por cualquier matriz devuelve la matriz original. [72]
4. Matriz Inversa ($A^{-1}$): Al multiplicarse por $A$, resulta en la matriz identidad. [74]
   1. Gráficamente, aplicar $A$ y luego $A^{-1}$ devuelve el vector a su posición original. [76]
5. Conjugado Complejo de una Matriz: Se niega la parte imaginaria de todos los elementos. [78]
   1. Se denota con un asterisco (*). [79]
6. Transpuesta ($A^T$): Se intercambian filas por columnas. [82]
7. Daga (Adjoint): Es la combinación de conjugado complejo y transpuesta ($A^{†}$). [84]
8. Matrices Unitarias ($U$): Matrices usadas para aplicar operaciones cuánticas. [85]
   1. Propiedad: $U{U}^{†}=I$, por lo que $U^{†}$ es su inversa. [87]
   2. Geométricamente, rotan o voltean el vector sin cambiar su longitud. [88]
9. Matriz Hermitiana ($H$): Matriz igual a su propia daga ($H=H^{†}$). [90]
10. Autovectores y Autovalores:
    1. Si una transformación estira/comprime un vector sin cambiar su dirección, es un autovector. [93]
    2. El factor de estiramiento/compresión es el autovalor (un escalar). [94]
    3. Ejemplo: Para una matriz dada, el autovalor es 2 con autovector $\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$. [95]

4. Representación Matemática de Qubits [99]

4.1. Qubits y Superposición [99]

1. Computadoras Clásicas: Usan binarios (ceros y unos) para datos. [99]
2. Qubits Cuánticos: Pueden ser 0 y 1 al mismo tiempo. [100]
3. Definición Física: Un qubit es cualquier partícula cuántica en dos estados distintos (ej. polarización de un fotón). [103]
4. Representación de Estados Base:
   1. El 0 se define como el vector columna $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$. [104]
   2. El 1 se define como el vector columna $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$. [104]
   3. Los corchetes raros son la Notación Dirac (Ket). [105]
5. Superposición: Un qubit está en dos estados simultáneamente. [106]
6. Representación Matemática: Un qubit se representa como un vector columna de dos elementos. [110]
   1. El elemento superior indica la proporción del estado 0. [111]
   2. El elemento inferior indica la proporción del estado 1. [111]
   3. La convención es usar la letra griega psi ($\psi$) para el estado. [112]
7. Superposición Matemática: Si ambos elementos son no nulos, el qubit está en superposición de 0 y 1. [115]

4.2. Medición y Probabilidad [116]

1. Medición Cuántica: Cambia el estado del sistema al resultado de la medición. [116]
2. Colapso: Si un qubit en superposición se mide, colapsa a 0 o 1. [119]
   1. No se mide la proporción, solo el resultado final (0 o 1). [122]
3. Probabilidad: Los números en el vector indican la probabilidad de medir 0 o 1. [125]
   1. Probabilidad de medir 0: magnitud al cuadrado de la amplitud del estado 0. [126]
   2. Probabilidad de medir 1: magnitud al cuadrado de la amplitud del estado 1. [126]
4. Ejemplo de Probabilidad: Para $\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}/2\\ 1/2\end{array}\right)$, hay 75% de medir 0 y 25% de medir 1. [127]
5. Validación de Estados: La suma de probabilidades debe ser 1. [130]
6. Cambio Permanente: Medir un qubit cambia permanentemente su estado al medido. [132]

4.3. Notación Dirac y Esfera de Bloch [134]

1. Notación Dirac: Forma convencional de escribir estados cuánticos, útil para múltiples qubits. [134]
   1. Se convierte la matriz a una combinación lineal de los estados base (0 y 1). [135]
2. Kets: Los corchetes $|0⟩$, $|1⟩$, $|S⟩$ se llaman kets. [139]
   1. Indican que 0, 1, y S son estados cuánticos. [140]
3. Esfera de Bloch: Representación gráfica del estado de un qubit. [143]
   1. Polo Norte: Estado 0. [144]
   2. Polo Sur: Estado 1. [144]
   3. Ecuador: Estados $|+⟩$, $|-⟩$, $|i⟩$, $|-i⟩$. [145]
4. Probabilidad en la Esfera: Cuanto más arriba esté el qubit, mayor probabilidad de medir 0. [147]
   1. El estado $\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{2}\\ 1/\sqrt{2}\end{array}\right)$ está a mitad de camino (50/50). [148]
5. Fase (Phase): La rotación del qubit alrededor del eje Z en la esfera. [150]
   1. La fase afecta el poder de las computadoras cuánticas. [151]
   2. El estado $\left(\begin{array}{c}1/2\\ \sqrt{3}/2\end{array}\right)$ está entre el Ecuador y el Polo Sur (25% de 0, 75% de 1). [154]

5. Puertas Cuánticas de un Solo Qubit [155]

1. Puertas Lógicas: Se usan puertas para cambiar los estados de los qubits. [155]
2. Puertas Comunes: X, Y, y Z son las más comunes para un solo qubit. [157]
3. Puerta X (NOT): Invierte el estado del qubit ($0\leftrightarrow 1$). [158]
   1. Rota el qubit $180^{\circ }$ ($\pi$ radianes) alrededor del eje X. [163]
4. Puerta Y: Rota el estado del qubit $180^{\circ }$ ($\pi$ radianes) alrededor del eje Y. [164]
5. Puerta Z: Rota el estado del qubit $180^{\circ }$ ($\pi$ radianes) alrededor del eje Z. [167]
6. Autoinversas: Aplicar la misma puerta dos veces devuelve el qubit a su posición original. [168]
   1. Las puertas X, Y, y Z son sus propias inversas. [169]
7. Representación Matricial: Las puertas se representan como matrices. [170]
   1. Se ignoran los números complejos en la matriz Y por ahora (se verán con la fase). [171]
8. Aplicación Matemática (Vector): Se multiplica la matriz de la puerta por el vector columna del qubit. [173]
9. Aplicación en Notación Dirac:
   1. La primera columna de la matriz indica a dónde va el estado $|0⟩$. [175]
   2. La segunda columna indica a dónde va el estado $|1⟩$. [176]
   3. La puerta actúa individualmente en cada estado de superposición (linealidad). [178]
10. Efecto de la Puerta Z: Transforma $|\alpha 0+\beta 1⟩$ a $|\alpha 0-\beta 1⟩$. [182]
    1. La puerta Z no afecta las probabilidades de medir 0 o 1. [183]

6. Introducción a la Fase (Phase) [184]

1. Fase y Rotación Z: La rotación alrededor del eje Z se llama fase. [185]
2. Importancia: La fase es clave para el poder de las computadoras cuánticas. [187]
3. Representación Matemática: Se usan números complejos en forma exponencial ($e^{i\theta }$). [189]
4. Efecto de la Puerta Z: Aplicar Z al estado $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$ resulta en $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩-\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$. [193]
   1. El estado $|1⟩$ se multiplica por $-1$, que es $e^{i\pi }$. [195]
5. Rotación por $\pi/2$: El número $i$ es $e^{i\pi /2}$. [199]
   1. Multiplicar el estado $|1⟩$ por $e^{i\theta }$ rota el qubit $\theta$ radianes alrededor del eje Z. [201]
6. Tipos de Fase:
   1. Fase Global: Multiplicar todo el qubit por un complejo. Es físicamente irrelevante. [203]
   2. Fase Relativa: Multiplicar la amplitud del estado $|1⟩$ por un complejo. Es muy importante. [203]
7. Fase Relativa y Probabilidad: La fase relativa no afecta la probabilidad de medir 0 o 1. [209]
   1. La probabilidad de medir $|1⟩$ sigue siendo $|\beta {|}^2$ en $|\alpha 0+e^{i\varphi }\beta 1⟩$. [210]

6.1. Estados en el Ecuador y Puerta Hadamard (H) [214]

1. Estados del Ecuador: Son atajos para estados con fase relativa específica. [215]
   1. Todos tienen probabilidad 0.5 de medir 0 o 1. [218]
2. Definiciones de Estados del Ecuador: [219]
   1. $|+⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$. [219]
   2. $|-⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$ (Fase relativa de -1). [220]
   3. $|i⟩$ tiene fase relativa $i$. [222]
3. Puerta Hadamard ($H$): Matriz clave en algoritmos cuánticos. [223]
   1. Transforma $|0⟩$ en $|+⟩$ y $|1⟩$ en $|-⟩$. [225]
   2. Es su propia inversa: $H(H|\psi ⟩)=|\psi ⟩$. [227]
4. Importancia de la Fase: Aplicar $H$ a $|+⟩$ da $|0⟩$, y a $|-⟩$ da $|1⟩$. [226]
   1. Aunque $|+⟩$ y $|-⟩$ tienen la misma probabilidad inicial (0.5), el resultado después de $H$ es diferente debido a la fase relativa. [231]

6.2. Puertas Adicionales y Compuertas de Múltiples Qubits [234]

1. Puertas S y T: Añaden fases relativas específicas. [234]
   1. Puerta S: Añade fase relativa de $\pi /2$ radianes. [235]
   2. Puerta T: Añade fase relativa de $\pi /4$ radianes. [236]
2. Inversas: La conjugada transpuesta ($S^{†}$ o $T^{†}$) es la inversa de cada puerta. [237]

6.2.1. Tensor Product y Múltiples Qubits [241]

1. Múltiples Qubits: Se representan mediante el producto tensorial ($\otimes$). [241]
2. Dos Qubits en Estado Base: El estado $|00⟩$ se representa tensando los vectores base. [242]
3. Superposición de Dos Qubits: Se expande como una suma de cuatro estados: $|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩$. [244]
4. Medición Multiqubit: La probabilidad es la magnitud al cuadrado del coeficiente del estado deseado. [247]
5. Añadir Qubits: Se aplica el producto tensorial al final del estado existente. [249]
6. Notación Abreviada: $n$ ceros se escriben como $|0{⟩}^{\otimes n}$. [251]

6.2.2. Circuitos Cuánticos y Compuertas Multi-Qubit [252]

1. Circuito Cuántico: Diagrama para aplicar puertas a qubits específicos. [252]
   1. Vertical: Cada línea es un qubit. [254]
   2. Izquierda: Estados iniciales. [255]
   3. Cajas: Puertas cuánticas (letras indican el tipo, ej. X). [255]
   4. Horizontal: Orden de aplicación (de izquierda a derecha). [258]
   5. Los estados se pueden señalar en diferentes puntos del circuito. [260]
2. Ejemplo de Circuito: Se describe la evolución del estado $|001⟩$ a través de varias puertas X y H. [262]
3. Compuerta CNOT (Controlled-X): Compuerta común de múltiples qubits. [269]
   1. Actúa sobre dos qubits: Control y Objetivo (Target). [271]
   2. Aplica una puerta X al objetivo solo si el control es $|1⟩$. [273]
   3. Se aplica a cada estado de superposición individualmente. [274]
4. Compuerta Toffoli: Similar a CNOT, pero tiene dos qubits de control. [275]
5. Otras Compuertas Controladas: Se pueden crear versiones controladas de Y, Z, S, T, y H. [278]
   1. Se representan con una línea que sale al qubit de control. [279]
6. Medición de un Qubit Individual:
   1. Para hallar la probabilidad de medir un qubit como 1, se suman las probabilidades de estados donde ese qubit es 1. [281]
7. Colapso al Medir: Si se mide un qubit, el estado colapsa. [284]
   1. Se eliminan estados donde el qubit medido no coincide con el resultado. [286]
   2. Se debe normalizar el estado resultante (multiplicar por una constante $A$) para que las probabilidades sumen 1. [287]

7. Entrelazamiento y Fenómenos Cuánticos [301]

7.1. Entrelazamiento (Entanglement) [301]

1. Observación de Estado: Si al medir un qubit se conoce el estado del otro, hay dependencia. [301]
2. Entrelazamiento: Un estado está entrelazado si no se puede factorizar como producto tensorial de estados individuales. [305]
   1. Los qubits entrelazados dependen entre sí para determinar su estado. [307]
3. Tipos de Entrelazamiento: [308]
   1. Máximamente Entrelazados: Medir uno determina el estado de los otros. [309]
   2. Los estados comunes de dos qubits se llaman Estados de Bell ($|{\Phi }^{\pm }⟩,|{\Psi }^{\pm }⟩$). [310]
   3. Parcialmente Entrelazados: Medir uno afecta las probabilidades o la fase de los otros. [311]

7.2. Phase Kickback (Retroceso de Fase) [313]

1. Fenómeno: Ocurre cuando se aplica una operación controlada a un qubit en un autovector de la operación. [314]
2. Circuito de Ejemplo: Se usa un qubit en estado $|+⟩$ y otro en un autovector $V$ de una operación $U$. [315]
3. Resultado: El autovector $V$ (objetivo) no cambia, pero se aplica una fase relativa $e^{i\theta }$ al qubit de control. [320]
4. Uso: Este fenómeno se usa en algunos algoritmos cuánticos. [324]

8. Protocolos y Reversibilidad [325]

8.1. Codificación Superdensa (Superdense Coding) [325]

1. Protocolo: Permite enviar dos bits de información clásica usando solo un qubit. [326]
2. Requisito: Necesita entrelazamiento previo entre Alice (quien envía) y Bob (quien recibe). [327]
3. Inicialización: Alice y Bob comparten dos qubits entrelazados (Estado de Bell). [329]
4. Operaciones de Alice (Según los 2 bits a enviar): [333]
   1. Si envía 00: No hace nada y envía su qubit a Bob. [334]
   2. Si envía 01: Aplica puerta X a su qubit. [335]
   3. Si envía 10: Aplica puerta Z a su qubit. [336]
   4. Si envía 11: Aplica puertas X y Z a su qubit. [337]
5. Procesamiento de Bob: Bob recibe ambos qubits. [339]
   1. Aplica CNOT (Control: qubit de Alice, Objetivo: qubit de Bob). [340]
   2. Aplica Hadamard al qubit de Alice. [341]
6. Resultado: Bob mide los qubits y obtiene los dos bits originales de Alice. [343]

8.2. Reversibilidad de Operaciones Clásicas [346]

1. Operaciones Clásicas: AND, OR, NOT, XOR (OR exclusivo). [347]
2. Reversibilidad: Una función $f$ es reversible si, dado $f(x)$, se puede determinar $x$. [360]
   1. La negación de un bit es reversible (cada salida es única). [362]
   2. La operación OR no es reversible (salida 1 puede venir de tres entradas). [362]
3. Hacer Puertas Clásicas Reversibles:
   1. Se añade un bit de entrada adicional ($C$). [364]
   2. La salida es $X$ y $C\oplus f(X)$ (donde $\oplus$ es XOR). [365]
   3. Esto asegura que cada fila de la tabla de verdad de salida sea única. [369]
4. Requisito Cuántico: Todas las operaciones cuánticas (excepto la medición) deben ser unitarias y, por lo tanto, reversibles. [370]

9. Aplicación de Funciones Cuánticas (Oráculos de Fase) [375]

1. Función Cuántica: Debe ser reversible y codificarse en una matriz unitaria ($U_f$). [375]
2. Forma Reversible: La función se aplica como $X,Y\to X,Y\oplus f(X)$. [377]
3. Consulta de Función: Si $Y$ se inicializa a 0, la salida es $0\oplus f(X)=f(X)$. [378]
4. Consulta en el Estado $|-\rangle$ (Oráculo de Fase):
   1. Si se aplica $U_f$ al estado $|X-⟩$, el resultado es $|X,F(X)-⟩$. [383]
   2. Si $F(X)=0$, el estado se convierte en $\frac{1}{\sqrt{2}}(|X0-|X1⟩)$. [388]
   3. Si $F(X)=1$, el estado se convierte en $\frac{1}{\sqrt{2}}(|X1-|X0⟩)$, que es $-\frac{1}{\sqrt{2}}(|X0-|X1⟩)$. [391]
5. Resultado Final: El estado se convierte en $(-1{)}^{f(x)}|X-⟩$. [395]
6. Oráculo de Fase: Se llama a esta técnica cuando el bit de salida está en el estado $|-⟩$. [397]

10. Teorema de No Clonación y Algoritmo de Deutsch [399]

10.1. Teorema de No Clonación [399]

1. Copia Clásica: Se leen los valores y se escriben en otros bits. [400]
2. Copia Cuántica: Es imposible copiar un qubit en un estado desconocido ($|S⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$) sin conocer $\alpha$ y $\beta$. [400]

10.2. Algoritmo de Deutsch (1 Qubit) [403]

1. Problema: Dada una función $f$ de 1 bit de entrada a 1 bit de salida, determinar si es constante o balanceada. [404]
   1. Constante: Siempre devuelve el mismo valor (0 o 1). [409]
   2. Balanceada: Devuelve 0 para la mitad de las entradas y 1 para la otra mitad (ej. Identidad o NOT). [411]
2. Solución Clásica: Requiere dos consultas a la función ($f(0)$ y $f(1)$). [415]
3. Solución Cuántica (Deutsch): Requiere una sola consulta. [418]
4. Pasos del Circuito: [419]
   1. Inicialización: Estado $|01⟩$. [420]
   2. Aplicar Hadamard a ambos qubits: Estado $|+-⟩$. [422]
   3. Aplicar el Oráculo de Fase $U_f$ (función $f$): Estado en forma de Oráculo de Fase. [425]
   4. Se omite el qubit de salida negativo para simplificar. [428]
5. Análisis de Escenarios: [429]
   1. Si $f(0) = f(1)$ (Constante): El estado final es $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$, o el estado $|+⟩$. [430]
   2. Si $f(0) \neq f(1)$(Balanceada)</strong>:Elestadofinales$\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert 0 \rangle - \vert 1 \rangle)$,oelestado$\vert - \rangle$. [433]
6. Medición Final: [438]
   1. Aplicar Hadamard al primer qubit. [438]
   2. Si se mide $|0⟩$, la función es constante. [440]
   3. Si se mide $|1⟩$, la función es balanceada. [440]

11. Algoritmo de Deutsch-Jozsa (DJ) [443]

1. Generalización: Resuelve el mismo problema (constante vs. balanceada) para funciones que aceptan $N$ bits de entrada. [443]
2. Complejidad Clásica: Requiere hasta $2^{N-1}+1$ consultas en el peor caso. [451]
3. Complejidad Cuántica: Solo requiere una consulta. [455]
4. Pasos del Circuito: [456]
   1. Inicialización: $N$ ceros. [459]
   2. Aplicar Hadamard a los $N$ qubits (creando superposición uniforme). [457]
   3. Identidad Importante: Aplicar $H$ a $|0{⟩}^{\otimes n}$ da una suma uniforme de todos los estados de $n$ bits. [460]
   4. Aplicar la función Oráculo $U_f$ (Oráculo de Fase). [475]
   5. El estado se convierte en $\frac{1}{2^{n/2}}{\sum }_x(-1{)}^{f(x)}|x⟩$. [478]
   6. Aplicar Hadamard a cada uno de los $N$ qubits. [480]
   7. Identidad Importante: $H^{\otimes n}$ aplicado a un estado arbitrario $|X⟩$ se relaciona con el producto punto $X\cdot Z$. [483]
5. Análisis de Amplitud del Estado Cero ($\vert 0 \rangle^{\otimes n}$): [496]
   1. Si $f(x)$ es Constante: La amplitud del estado $|0{⟩}^{\otimes n}$ es $\pm 1$. [500]
   2. La probabilidad de medir todos ceros es 1. [510]
   3. Si $f(x)$ es Balanceada: La suma de unos y menos unos se cancela, la amplitud es 0. [505]
   4. La probabilidad de medir todos ceros es 0. [511]
6. Conclusión: Medir todos ceros implica que es constante; cualquier otra medida implica que es balanceada. [512]

12. Algoritmo de Bernstein-Vazirani (BV) [515]

1. Problema: Dada una función $f(X)=X\cdot S(\mathrm{mod}2)$, encontrar la cadena secreta $S$. [516]
   1. $X\cdot S$ es el producto punto de los vectores de bits, módulo 2. [516]
2. Solución Clásica: Requiere $N$ consultas (una por cada posición de $S$). [518]
3. Solución Cuántica: Requiere una sola consulta. [521]
4. Pasos del Circuito: Similar al de Deutsch, pero con un estado inicial diferente. [522]
   1. Inicialización: Estado $|0{⟩}^{\otimes n-1}|-⟩$. [523]
   2. Aplicar Hadamard a los primeros $N-1$ qubits. [524]
   3. Aplicar el Oráculo de Fase $U_f$ (con el objetivo en $|-⟩$). [525]
   4. El estado se convierte en $\frac{1}{2^{n/2}}{\sum }_x(-1{)}^{X\cdot S}|X⟩$. [527]
   5. Aplicar Hadamard a los primeros $N-1$ qubits. [529]
   6. Se usa la identidad de Hadamard generalizada. [530]
   7. El exponente se simplifica a $(-1{)}^{(S+Z)\cdot X}$. [533]
5. Medición Final: [536]
   1. La amplitud del estado $|S⟩$ es 1. [537]
   2. La probabilidad de medir exactamente $S$ es 1. [543]
6. Patrón Común: Aplicar $H^{\otimes n}$, aplicar la función, y aplicar $H^{\otimes n}$ se usa en muchos algoritmos. [545]

13. Transformada Cuántica de Fourier (QFT) [547]

1. Contexto: QFT es clave para el Algoritmo de Shor y la Estimación de Fase Cuántica (QPE). [547]
2. Intuición (Bloch Sphere): [549]
   1. Entrada (Binario Clásico): Los qubits son 0 o 1. [552]
   2. Salida (QFT): Los números se codifican por la fase de los qubits en superposición uniforme. [554]
   3. El qubit izquierdo tiene $2^1$ opciones de fase; el último tiene $2^N$ opciones. [557]
3. Codificación del Número 5 (en 3 bits, $N=3$): [560]
   1. El qubit derecho rota $5/8\times 2\pi =5\pi /4$ radianes. [561]
   2. El siguiente rota $2\times 5\pi /8=5\pi /4$ radianes. [562]
   3. El último rota $2\times 5\pi /4=5\pi /2$ radianes. [562]
4. Transformación Matemática: Aplicar QFT a un estado base $|J⟩$ da una suma compleja. [591]
5. QFT Inversa: Deshace la transformación QFT. [592]

13.1. Circuito QFT [564]

1. Componentes del Circuito QFT: [565]
   1. Puerta $R_K$ Controlada: Define una fase variable $K$. [567]
   2. Transforma $|0⟩\to |0⟩$ y $|1⟩\to e^{2\pi i/2^K}|1⟩$. [570]
   3. La versión controlada aplica esto solo si el control es 1. [571]
   4. Puerta Swap: Intercambia los estados de dos qubits. [572]
2. Ejemplo con 3 Bits ($J = j_2 j_1 j_0$): [573]
   1. Se analiza cada qubit individualmente y luego se combinan. [576]
   2. Después de las puertas Hadamard y las puertas $R_K$ controladas, el estado se codifica en la fase. [577]
3. Resultado: El valor $J$ queda codificado en la fase de los qubits. [588]

14. Estimación de Fase Cuántica (QPE) [594]

1. Objetivo: Encontrar el autovalor ($e^{i\theta }$) de una matriz $U$, dado su autovector $V$. [594]
   1. El autovalor se representa como $e^{i\theta }$. [595]
2. QPE: Algoritmo que encuentra $e^{i\theta }$ con cierta precisión. [596]
   1. Es clave para el Algoritmo de Shor. [597]
3. Circuito QPE: Usa dos registros: [598]
   1. Primer registro (M ceros): Almacena la fase estimada $J$. [599]
   2. Segundo registro ($N$ qubits): El autovector $V$. [599]
4. Pasos del Circuito: [603]
   1. Inicialización: Estado $|0{⟩}^{\otimes M}|V⟩$. [604]
   2. Hadamard en el primer registro. [605]
   3. Aplicar $U^{2^k}$ controlado por el qubit $k$ del primer registro. [606]
   4. Ocurre phase kickback, añadiendo una fase $e^{i{2}^k\theta }$ al qubit de control. [607]
   5. Se continúa para todos los qubits del primer registro. [610]
5. Relación con $J$: Si $\theta =2\pi J$, y $J$ se representa como una cadena de bits, el estado final es el estado $|J⟩$ obtenido al aplicar QFT al estado $|0{⟩}^{\otimes M}$. [611]
6. Resultado: Aplicar la QFT Inversa al primer registro da el estado $|J⟩$. [621]
   1. Midiendo $J$, se obtiene $\theta$ y luego el autovalor $e^{i\theta }$. [623]

15. Algoritmo de Shor (Factorización) [624]

1. Objetivo: Encontrar los factores primos ($P$ y $Q$) de un número grande $N=PQ$. [625]
2. Requisito: Necesita una computadora cuántica tolerante a fallos con millones de qubits (aún no disponible). [627]
3. Uso de Computadoras: Usa pasos clásicos y cuánticos. [629]
4. Paso Clásico Inicial: Elegir $A$ tal que $1<A<N$ y $\text{GCD}(A,N)=1$. [630]
5. Reducción a Periodo: Factorizar $N$ se reduce a encontrar el periodo ($R$) de la exponenciación modular $A^x(\mathrm{mod}N)$. [632]
   1. El periodo $R$ es la longitud de la secuencia repetitiva que comienza cuando $A^R\equiv 1(\mathrm{mod}N)$. [639]
6. Teoría de Números: Si se encuentra $R$, los factores $P$ y $Q$ se obtienen calculando: [640]
   1. $\text{GCD}(A^{R/2}-1,N)$ y $\text{GCD}(A^{R/2}+1,N)$. [641]

15.1. Paso Cuántico: Encontrar el Periodo $R$ [643]

1. Puerta $U$: Se necesita una puerta que transforme $|X⟩\to |XA(\mathrm{mod}N)⟩$. [643]
2. Autovector: El estado $|1(\mathrm{mod}N)⟩$ es un autovector de $U^S$ con autovalor $e^{2\pi iS/R}$. [646]
3. Construcción del Estado Inicial: Se construye el estado $|1(\mathrm{mod}N)⟩$ como una superposición de todos los autovectores $U^S$. [653]
   1. $|1(\mathrm{mod}N)⟩=\frac{1}{\sqrt{R}}{\sum }_{s=0}^{R-1}|U^s⟩$. [658]
4. Aplicación de QPE: Se usa QPE para estimar el autovalor $e^{2\pi iS/R}$. [659]
   1. El resultado medido es un decimal $J\approx S/R$. [663]
   2. Si el resultado es 0 ($S=0$), se repite el circuito. [664]

15.2. Paso Clásico Final: Estimación de Fracciones Continuas [665]

1. Estimación de $S$ y $R$: Se usa la técnica de fracciones continuas en el decimal $J$. [666]
   1. Se aproxima $J$ como una fracción $S/R$. [667]
   2. Se elige la aproximación cuyo denominador sea menor que $N$ (pues $R<N$). [672]
2. Cálculo de Factores: Con la aproximación de $R$: [674]
   1. Se calcula $\text{GCD}(A^{R/2}-1,N)$ y $\text{GCD}(A^{R/2}+1,N)$. [675]
   2. Estos GCDs tienen una alta probabilidad de ser los factores $P$ y $Q$. [679]
3. Ejemplo $N=15$: ($P=3,Q=5$). [680]
   1. Se elige $A=7$ (coprimo con 15). [681]
   2. El paso cuántico encuentra el periodo $R=4$ (pues $7^4\equiv 1(\mathrm{mod}15)$). [683]
   3. Se calcula $\text{GCD}(7^{4/2}-1,15)=\text{GCD}(48,15)=3$. [685]
   4. Se calcula $\text{GCD}(7^{4/2}+1,15)=\text{GCD}(50,15)=5$. [686]
   5. Se encuentran los factores 3 y 5. [688]