Portfolio-Rendite und Differenz (Berechnung für CFA®- und FRM®-Prüfungen)

1. Portfolio-Rendite und -Varianz: Grundlagen und Berechnung [0]

1.1. Erwartete Portfolio-Rendite (Portfolio Expected Return) [6]

1. Die erwartete Portfolio-Rendite ist ein gewichteter Durchschnitt [7].
2. Sie ist im Allgemeinen leicht zu verstehen und unkompliziert [2].
3. Berechnung: Man kombiniert mehrere Assets oder Aktien in einem Portfolio [9].
   1. Man nimmt das Gewicht jeder einzelnen Aktie [10].
   2. Man multipliziert es mit der jeweiligen Rendite [10].
   3. Anschließend werden alle Ergebnisse addiert [17].
4. Formel: $E(R_p)=\sum (w_i\cdot r_i)$ [16].
   1. $w_i$ ist das Gewicht der Aktie [11].
   2. $r_i$ ist die Rendite der Aktie [17].
5. Beispiel (Zwei Fonds):
   1. Annahmen: Aktienrendite 8%, Anleihenrendite 6% [22].
   2. Gleiche Allokation (Gewicht 50/50 oder 0,5/0,5) [23].
   3. Berechnung: $(0,5\cdot 8\%)+(0,5\cdot 6\%)=7\%$ [24].

1.2. Portfolio-Standardabweichung und -Varianz [26]

1. Die Portfolio-Standardabweichung ist komplizierter als die erwartete Rendite [26].
   1. Sie ist nicht nur die Summe der individuellen Standardabweichungen [27].
   2. Sie ist auch kein einfacher gewichteter Durchschnitt der Standardabweichungen [27].
2. Zusätzliche Informationen erforderlich:
   1. Gewicht der Assets und deren Standardabweichungen [28].
   2. Die Korrelation zwischen den Assets ist sehr wichtig [28].
3. Komplexität: Mit mehr Assets steigt die Anzahl der paarweisen Korrelationen [29].
   1. In Prüfungen (CFA/FRM) werden typischerweise zwei bis drei Assets abgefragt [30].
   2. Zwei-Asset-Fälle sind am häufigsten [30].
4. Zwei Schlüsselkomponenten der Portfolio-Standardabweichung:
   1. Die Varianz der zugrunde liegenden Assets [33].
   2. Die Kovarianz jedes zugrunde liegenden Asset-Paares [33].
5. Beziehung Varianz/Standardabweichung:
   1. Die Standardabweichung ist einfach die Quadratwurzel der Portfolio-Varianz [39].
6. Portfolio-Varianz-Formel (Zwei Assets X und Y):
   1. $\text{Varianz}=(w_x^2\cdot {\sigma }_x^2)+(w_y^2\cdot {\sigma }_y^2)+2\cdot w_x\cdot w_y\cdot {\sigma }_x\cdot {\sigma }_y\cdot {\rho }_{xy}$ [41].
   2. $w_x$ und $w_y$: Gewichte der Assets X und Y [42].
   3. ${\sigma }_x^2$ und ${\sigma }_y^2$: Varianzen der Assets X und Y [43].
   4. ${\rho }_{xy}$ (Korrelation): Der wichtigste Term in der Portfoliotheorie [45].
   5. Die Korrelation bestimmt das Ausmaß der Diversifikation [46].

1.3. Algebra-Trick zum Erinnern der Varianzformel [47]

1. Die Formel sieht kompliziert aus, kann aber mit einem Algebra-Trick gemerkt werden [49].
2. Algebra-Formel: $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$ [52].
3. Vergleich mit der Varianzformel:
   1. Setze $a=w_x\cdot {\sigma }_x$ [56].
   2. Setze $b=w_y\cdot {\sigma }_y$ [57].
   3. $a^2$ ergibt den ersten Term ($w_x^2\cdot {\sigma }_x^2$) [56].
   4. $b^2$ ergibt den zweiten Term ($w_y^2\cdot {\sigma }_y^2$) [57].
   5. $2ab$ ergibt $2\cdot w_x\cdot {\sigma }_x\cdot w_y\cdot {\sigma }_y$ [58].
4. Wichtige Ergänzung: Man muss den Korrelationsterm (${\rho }_{xy}$) am Ende zusätzlich einfügen [59].
   1. Der Korrelationsterm ist der wichtigste, da er die Diversifikation bestimmt [59].

1.4. Die Rolle der Korrelation und Kovarianz [61]

1. Die Korrelation ($\rho$) liegt immer im Bereich von -1 bis +1 [61].
2. Hohe Korrelation (Richtung +1):
   1. Je höher die Korrelation, desto größer wird die Portfolio-Varianz [64].
3. Niedrige Korrelation (Richtung -1):
   1. Wenn die Korrelation -1 erreicht, wird der gesamte dritte Term negativ [66].
   2. Dies führt zur niedrigsten möglichen Portfolio-Varianz [66].
   3. Dies bedeutet das höchste Niveau der Diversifikation [66].
   4. Eine negativere Korrelation ist besser für die Diversifikation [67].
4. Kovarianz-Beziehung:
   1. Die letzten drei Terme (${\sigma }_x\cdot {\sigma }_y\cdot {\rho }_{xy}$) entsprechen der Kovarianz (${\sigma }_{xy}$) zwischen X und Y [70].
   2. Wenn die Kovarianz direkt gegeben ist, kann sie anstelle dieser drei Terme verwendet werden [72].
   3. Die Formel hat zwei Versionen, abhängig davon, ob Kovarianz oder Korrelation gegeben ist [74].

1.5. Beispiel 1: Berechnung der Portfolio-Standardabweichung mit Korrelation [76]

1. Gegebene Daten:
   1. Asset A: Allokation ($w_A$) 80% (0,8), Standardabweichung (${\sigma }_A$) 16% (0,16) [78].
   2. Asset B: Allokation ($w_B$) 20% (0,2), Standardabweichung (${\sigma }_B$) 25% (0,25) [79].
   3. Korrelationskoeffizient (${\rho }_{AB}$) 0,6 [80].
2. Wichtiger Hinweis: Man muss genau prüfen, ob die Frage nach der Standardabweichung oder der Varianz fragt [81].
   1. Ein häufiger Fehler ist das Stoppen nach der Berechnung der Varianz [82].
   2. Wenn die Standardabweichung gefragt ist, muss im letzten Schritt die Quadratwurzel gezogen werden [84].
3. Berechnung der Portfolio-Varianz (Formel einsetzen) [89]:
   1. $w_A^2\cdot {\sigma }_A^2=0,8^2\cdot 0,16^2$
   2. $w_B^2\cdot {\sigma }_B^2=0,2^2\cdot 0,25^2$
   3. $2\cdot w_A\cdot w_B\cdot {\sigma }_A\cdot {\sigma }_B\cdot {\rho }_{AB}=2\cdot 0,8\cdot 0,2\cdot 0,16\cdot 0,25\cdot 0,6$
4. Ergebnis: Die Portfolio-Varianz beträgt 2,66% (oder 0,0266) [92].
   1. Das Stoppen hier würde zur falschen Antwort führen (Option B, gerundet 2,7) [93].
5. Berechnung der Portfolio-Standardabweichung:
   1. $\text{Standardabweichung}=\sqrt{\text{Varianz}}$ [95].
   2. $\text{Standardabweichung}=\sqrt{0,0266}$ (Dies ist Option A) [96].

2. Beispiel 2: Berechnung der Kovarianz und Portfolio-Standardabweichung [97]

1. Szenario: Gleichmäßig in zwei Unternehmen (ABC und XYZ) investiert [99].
   1. Gewichte ($w_A,w_B$) sind 50/50 (0,5 und 0,5) [100].
2. Gegebene Daten (ABC):
   1. Renditen: 6%, 8%, 10% [102].
   2. Wahrscheinlichkeiten: 15%, 60%, 25% [102].
   3. Erwarteter Wert ($E(R_A)$): 8,2% [103].
   4. Standardabweichung (${\sigma }_A$): 1,249% [103].
3. Gegebene Daten (XYZ):
   1. Renditen: 4%, 5%, 5,5% [105].
   2. Wahrscheinlichkeiten: Dieselben wie bei ABC (15%, 60%, 25%) [105].
   3. Erwarteter Wert ($E(R_B)$): 4,975% [107].
   4. Standardabweichung (${\sigma }_B$): 0,46% [108].
4. Ziel: Berechnung der Portfolio-Standardabweichung [109].
5. Fehlende Information: Die Korrelation oder Kovarianz fehlt [113].
   1. Diese muss aus den gegebenen Wahrscheinlichkeiten und Renditen abgeleitet werden [113].

2.1. Berechnung der Kovarianz [114]

1. Kovarianz-Formel: $\text{Cov}(X,Y)=\sum P_i\cdot (X_i-E(X))\cdot (Y_i-E(Y))$ [114].
   1. $E(X)$ und $E(Y)$ (erwartete Renditen) sind bereits gegeben [115].
   2. $P_i$ (Wahrscheinlichkeiten) und $X_i,Y_i$ (Zustandsrenditen) sind ebenfalls gegeben [117].
2. Berechnung des ersten Szenarios (15% Wahrscheinlichkeit):
   1. $P_1=0,15$ [119].
   2. $(X_1-E(X))=(6\%-8,2\%)$ [120].
   3. $(Y_1-E(Y))=(4\%-4,975\%)$ [123].
3. Wiederholung: Dieser Prozess wird für die anderen beiden Fälle (60% und 25%) wiederholt [124].
   1. Die Datenpunkte ändern sich: (8% und 5%), dann (10% und 5,5%) [132].
4. Ergebnis: Die Summe aller drei Fälle ergibt die Kovarianz [124].

2.2. Berechnung der Portfolio-Varianz und Standardabweichung [134]

1. Portfolio-Varianz-Formel (mit Kovarianz):
   1. $\text{Varianz}=(w_x^2\cdot {\sigma }_x^2)+(w_y^2\cdot {\sigma }_y^2)+2\cdot w_x\cdot w_y\cdot \text{Cov}(X,Y)$ [125].
   2. Die drei Terme $2\cdot w_x\cdot w_y\cdot {\sigma }_x\cdot {\sigma }_y\cdot {\rho }_{xy}$ werden durch $2\cdot w_x\cdot w_y\cdot \text{Cov}(X,Y)$ ersetzt [125].
2. Einsetzen der Werte:
   1. Gewichte ($w_x,w_y$) sind 0,5 [135].
   2. Standardabweichungen (${\sigma }_x,{\sigma }_y$) sind bekannt und werden quadriert [135].
   3. Die berechnete Kovarianz wird eingesetzt [136].
3. Ergebnis: Die Berechnung liefert die Portfolio-Varianz [137].
4. Standardabweichung: Man zieht die Quadratwurzel aus der Varianz [137].
5. Erinnerung: Der Algebra-Trick $(a+b{)}^2$ hilft beim Erinnern der Struktur [140].
   1. Man muss den Korrelationsterm (oder die Kovarianz) am Ende hinzufügen [141].