1. Optimal Portfolio Choice und Markowitz' Portfoliotheorie [0]

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1.1. Entscheidungskriterien der Kapitalmarktakteure (Das --Prinzip) [0]

  1. Die Optimal Portfolio Choice wird erklärt, basierend auf der Markt-Portfoliotheorie. [0]
  2. Das CAPM (Capital Asset Pricing Model) setzt voraus, dass Kapitalmarktakteure ihre Portfolios danach auswählen. [1]
  3. Das Verständnis der Optimal Portfolio Choice ist wichtig, um das CAPM zu verstehen. [2]
    1. Das CAPM wird zur Schätzung der Eigenkapitalkosten eines Unternehmens genutzt. [3]
    2. Dies ist entscheidend für die Bewertung per DCF (Discounted Cash Flow). [3]
  4. Die Akteure wählen nach dem $\mu$--Prinzip in Markowitz' Portfoliotheorie. [4]
    1. Sie sind $\mu$--Decision-Maker. [4]
  5. Ein solcher Entscheider interessiert sich nur für zwei Größen: und . [5]
    1. $\mu$ ist die erwartete Rendite. [5]
    2. $\sigma$ ist die Standardabweichung dieser Rendite (Risiko). [5]
  6. Der Nutzen ergibt sich als Funktion aus dem Erwartungswert () und der Standardabweichung (). [6]
    1. Beispiele für solche Funktionen sind: [7]
      1. Erwartungswert minus die Varianz (für alle Entscheider gleich). [7]
      2. minus ( multipliziert mit ). [7]
    2. Der individuelle Parameter $\alpha$ drückt unterschiedliche Grade der Risikoaversion aus. [8]
    3. Ein höheres bedeutet eine risikoaversere Person. [9]
    4. Steigendes Risiko beeinflusst den Nutzen dieser Person dann negativer. [10]
  7. Für alle --Funktionen gelten zwei grundlegende Annahmen: [12]
    1. Der Entscheider ist nicht zu sättigen (bevorzugt immer ein höheres ). [12]
    2. Der Entscheider ist risikoavers (bevorzugt immer ein geringeres ). [12]
  8. Daraus ergibt sich das Konzept der $\mu$--Dominanz. [13]
    1. Ein Wertpapier S1 dominiert S2, wenn: [14]
      1. von S1 von S2. [14]
      2. von S1 von S2. [14]
      3. Die beiden dürfen nicht identisch sein. [14]
  9. Im --Diagramm (mit auf der Y-Achse und auf der X-Achse) wird dies veranschaulicht. [15]
    1. S1 dominiert S2 (geringeres bei gleichem ). [17]
    2. S2 dominiert S3 (höheres bei gleichem ). [18]
    3. S3 dominiert S4 (höheres und geringeres ). [19]
    4. S4 dominiert S5 nicht (geringeres , aber auch geringeres ). [20]
    5. S5 dominiert S4 auch nicht (höheres , aber auch höheres ). [20]
  10. Jeder --Entscheider würde S1 wählen, da es am weitesten links oben liegt. [21]
  11. Die Wahl zwischen S4 und S5 hängt von der persönlichen Risikoaversion ab. [22]

1.2. Beschreibung von Portfolios und --Effizienz [23]

  1. Ein Portfolio ist die Gesamtheit der Assets, die ein Akteur hält. [24]
  2. Zur Beschreibung werden die Gewichte $X_i$ (Anteile der Wertpapiere ) genutzt. [25]
    1. Dies macht Überlegungen unabhängig vom absoluten Wert des Portfolios. [26]
    2. Die Summe aller muss immer eins sein. [27]
  3. Es gibt zwei Portfolio-Sets, abhängig von der Shortsell Constraint: [34]
    1. Groß R: Erlaubt Short Selling (Summe ). [34]
      1. kann unter Null sein (bei geshorteten Aktien). [29]
      2. kann über eins sein (bei Nutzung von Leerverkaufserlösen). [29]
    2. Groß R SSC: Kein Short Selling erlaubt (jedes muss zwischen 0 und 1 sein). [28]
  4. Die $\mu$--Effizienz ist eine wichtige Überlegung. [35]
    1. Ein Portfolio aus dem Set R ist --effizient, wenn es nicht von einem anderen Portfolio aus R dominiert wird. [37]
    2. Analog gilt dies für das Set R SSC. [38]
  5. Im --Diagramm dominieren alle Portfolios im Quadranten links oben von P1 das Portfolio P1. [41]
  6. Die Bedingungen für die Dominanz sind die gleichen wie bei einzelnen Wertpapieren. [43]
  7. Der Unterschied liegt in der Berechnung von und für Portfolios. [44]
    1. Für einzelne Wertpapiere sind und gegeben oder leicht berechenbar. [44]
    2. Für Portfolios müssen und anhand der Werte der Einzelpapiere und der Gewichte berechnet werden. [47]

1.3. Berechnung von Portfolio-Rendite () und Risiko () [48]

  1. Das $\mu$ des Portfolios wird als gewichteter Durchschnitt der der Einzelwertpapiere berechnet. [48]
    1. Formel: . [48]
    2. ist der Anteil des Wertpapiers . [49]
    3. ist die erwartete Rendite des Wertpapiers . [49]
  2. Die Berechnung von $\sigma$ (Varianz) ist komplexer. [50]
    1. Alle Kovarianzen zwischen den einzelnen Wertpapieren müssen berücksichtigt werden. [50]
  3. Die Formel für die Varianz der erwarteten Portfoliorendite ist eine Doppelsumme. [51]
    1. Es wird über alle Pärchen von Wertpapieren summiert. [53]
    2. Summiert wird: . [53]
    3. ist die Kovarianz zwischen der Rendite von Wertpapier und . [55]
  4. Die Kovarianzmatrix (Beispiel ) veranschaulicht dies. [57]
    1. Die Diagonale enthält die Varianzen der einzelnen Aktien (). [59]
    2. Die Kovarianzen () erscheinen zweimal in der Matrix (). [60]
    3. Die Matrix teilt sich in die Diagonale und zwei identische Dreiecke (Kovarianzen). [62]
  5. Eine vereinfachte Formel nutzt den Aufbau der Matrix, um den Arbeitsaufwand zu reduzieren. [64]
    1. Die Formel besteht aus zwei addierten Teilen, wobei der zweite Teil mit 2 multipliziert wird. [65]
    2. Der erste Teil (einzeln) ist die Diagonale (Varianzen). [66]
    3. Der zweite Teil (doppelt) ist eines der Dreiecke (Kovarianzen). [66]
  6. Berechnung der Diagonale (Varianzen): [68]
    1. Das Gewicht der Aktie wird quadriert (). [68]
    2. Dies wird mit der Varianz der Aktie multipliziert (). [68]
    3. Über alle Aktien () wird summiert. [68]
  7. Berechnung des Dreiecks (Kovarianzen): [69]
    1. Es wird eine Doppelsumme benötigt. [69]
    2. Index läuft von 1 bis . [70]
    3. Index startet bei und läuft bis . [70]
    4. Dies schließt die Diagonale () und das andere Dreieck () aus. [71]
    5. Summiert wird: . [72]
  8. Nun kann und für jedes Portfolio berechnet werden. [73]

1.4. Das Portfolio Set im --Diagramm [74]

  1. Portfolios aus zwei Wertpapieren: [74]
    1. Das Set ist keine Fläche, sondern eine Linie, die die beiden Wertpapiere verbindet. [75]
    2. Die Form hängt vom Korrelationskoeffizienten ($r$) ab. [75]
  2. Fall $r = +1$ (perfekte positive Korrelation): [76]
    1. Die Erträge entwickeln sich immer gleich. [76]
    2. Risiko kann nicht durch Diversifikation verringert werden. [77]
    3. Das Set of Portfolios ist eine Gerade, die die beiden Wertpapiere verbindet. [78]
  3. Fall $r = -1$ (perfekte negative Korrelation): [80]
    1. Die Erträge entwickeln sich genau umgekehrt. [80]
    2. Es ist möglich, das gesamte Risiko weg zu diversifizieren. [80]
    3. Das Minimum Variance Portfolio (MVP) liegt nicht bei der Aktie mit geringerem . [81]
    4. Das MVP ist eine Kombination, bei der erreicht wird. [81]
  4. Realistischere Korrelationskoeffizienten ($r$ zwischen -1 und +1): [82]
    1. Die Linie ist gebogen. [84]
    2. Die Biegung hängt von der Größe des Korrelationskoeffizienten ab. [84]
    3. Oft existiert ein Portfolio, das ein geringeres hat als die beiden Einzelaktien ( und meistens auch andere ). [85]
  5. Portfolios aus $n$ Wertpapieren (Beispiel $n=4$): [86]
    1. Die Einzelaktien sind schwarze Punkte. [88]
    2. Mögliche Portfolios aus zwei verbundenen Aktien sind Linien. [89]
    3. Portfolios auf diesen Linien (z.B. rote Punkte) können wie Einzelaktien behandelt werden. [90]
    4. Diese können kombiniert werden, um weitere Portfolios zu erhalten (rot, dann grün). [91]
    5. Bei fortlaufender Kombination ergibt sich eine ausgefüllte Fläche zwischen der äußeren schwarzen und der äußeren blauen Linie. [94]
  6. Es gibt eindeutig ein Minimum Variance Portfolio (MVP) mit der geringsten Varianz. [97]
  7. Durch Diversifikation kann eine deutlich niedrigere Varianz erreicht werden. [98]
  8. Eine Varianz von Null ist nicht möglich. [99]
    1. Die durchschnittliche Kovarianz zwischen den Aktien verbleibt als systematisches Risiko. [100]
    2. Dieses Risiko lässt sich nicht weg diversifizieren. [100]
  9. Zur Risikoreduktion ist die Kovarianz des Returns der Aktie mit dem Return des bestehenden Portfolios entscheidend. [101]

1.5. Die Efficient Frontier und das Tobin Separation Theorem [102]

  1. Die optimale Portfolioauswahl eines --Entscheiders wird gesucht. [102]
  2. In Frage kommen alle Portfolios auf der Efficient Frontier (gelb markiert). [104]
  3. Ein --Entscheider wählt niemals ein dominiertes Portfolio. [105]
  4. Die Efficient Frontier liegt zwischen dem Minimum Variance Portfolio (MVP) und einem Punkt (im Beispiel P2). [106]
    1. Alle Portfolios unten rechts von einem anderen Portfolio sind dominiert. [108]
    2. Portfolios auf der Efficient Frontier dominieren alle anderen Portfolios im Set. [109]
  5. Die Wahl eines spezifischen Portfolios auf der Efficient Frontier hängt von den Risikopräferenzen des Entscheiders ab. [111]
  6. Einbeziehung einer risikofreien Anlage ($R_F$): [112]
    1. Der Entscheider kann Geld zu einem risikofreien Zins anlegen. [113]
    2. Er kann nun das attraktivste Portfolio auf der Efficient Frontier wählen und es mit mischen. [114]
    3. Dies passt das Portfolio an seine individuelle Risikopräferenz an. [114]
  7. Eigenschaften der Komponenten: [117]
    1. Der risikofreie Asset hat und . [117]
    2. Das optimale Portfolio aus dem Set hat und . [118]
  8. Berechnung des neuen Portfolios (Kombination): [119]
    1. Das ist der gewichtete Durchschnitt der der Komponenten (z.B. ). [119]
    2. Das ist einfacher zu berechnen, da des risikofreien Assets Null ist. [121]
    3. Die Varianz und die Kovarianzen mit dem risikofreien Asset sind Null. [121]
    4. Das reduziert sich auf den Anteil des riskanten Portfolios multipliziert mit . [121]
    5. Das lässt sich ebenfalls als gewichteter Durchschnitt berechnen. [122]
  9. Die möglichen Portfolios aus der Kombination von und einem riskanten Portfolio sind eine Linie im --Diagramm. [123]
  10. Vergleich von Linien: [124]
    1. Die blaue Linie zeigt Kombinationen aus und P1. [125]
    2. Die rote Linie zeigt Kombinationen aus und P2. [125]
    3. Ein Entscheider wählt immer die Linie mit der größeren Steigung (rote Linie). [126]
  11. Die Steigung dieser Linie ist die Sharpe Ratio von P. [127]
    1. Sharpe Ratio von P2 ist in diesem Beispiel größer als von P1. [127]
    2. Formel: . [128]
  12. Jeder Entscheider sucht das Portfolio P aus dem Set R mit der höchsten Sharpe Ratio. [129]
    1. Dieses Portfolio wird dann mit dem risikofreien Asset kombiniert. [129]
    2. Alle Akteure halten das gleiche riskante Portfolio. [130]
    3. Sie unterscheiden sich nur im Anteil, der in dieses Portfolio und in investiert wird. [130]
  13. Das Portfolio mit der höchsten Sharpe Ratio ist der Punkt, an dem die steilste Linie (Tangente) die Efficient Frontier berührt. [132]
    1. Dieser Berührungspunkt ist das Tangentialportfolio T. [133]
  14. Diese Tangente wird Capital Market Line (CML) genannt. [134]
    1. Die Steigung der CML ist die Sharpe Ratio des Tangentialportfolios. [136]
    2. Der Achsenabschnitt ist . [137]
    3. Die Formel gibt die erzielbare Rendite bei gegebenem Risiko () entlang dieser Linie an. [137]
  15. Dies wird als Tobin Separation Theorem bezeichnet. [138]
    1. Kernaussage: Jeder Entscheider hält das gleiche riskante Portfolio (T). [138]
    2. Es wird lediglich unterschiedlich mit dem risikofreien Asset kombiniert. [138]
  16. Diese Grundlagen sind notwendig, um das CAPM zu verstehen. [139]
    1. Das CAPM ermöglicht die Schätzung der Eigenkapitalkosten für die Unternehmensbewertung per DCF. [139]